ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 3

3. 5) Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{1}{2}x^3 - 2x \ge 0 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ x^3 - 4x \ge 0 $$ Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - 4) \ge 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x(x - 2)(x + 2) \ge 0 $$ Рассмотрим функцию $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$. Найдем нули функции: $$ x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2 $$ Отметим полученные нули на числовой прямой. Так как знак неравенства нестрогий ($\ge$), все граничные точки являются закрашенными (входят в решение). Точки $-2$, $0$ и $2$ разбивают числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -2]$, $[-2; 0]$, $[0; 2]$, $[2; +\infty)$. Определим знаки функции $f(x)$ на каждом промежутке: * при $x \in (2; +\infty)$ (возьмем $x = 3$): $3 \cdot (3 - 2) \cdot (3 + 2) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$ (знак $+$); * при $x \in (0; 2)$ (возьмем $x = 1$): $1 \cdot (1 - 2) \cdot (1 + 2) = 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3 < 0$ (знак $-$); * при $x \in (-2; 0)$ (возьмем $x = -1$): $(-1) \cdot (-1 - 2) \cdot (-1 + 2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 1 = 3 > 0$ (знак $+$); * при $x \in (-\infty; -2)$ (возьмем $x = -3$): $(-3) \cdot (-3 - 2) \cdot (-3 + 2) = (-3) \cdot (-5) \cdot (-1) = -15 < 0$ (знак $-$). Так как неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$, выбираем промежутки со знаком $+$ и точки, в которых выражение равно нулю: $$ x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty) $$ Ответ: $[-2; 0] \cup [2; +\infty)$.