ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 4

4. Решим неравенство методом интервалов: $$ (x^2 - 5x + 6)(x^2 - 9) \leqslant 0 $$ 1. Разложим каждый множитель на линейные множители. Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} \implies x_1 = 2,\; x_2 = 3 $$ Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Разложим разность квадратов: $$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$ 2. Подставим разложения в исходное неравенство: $$ (x - 2)(x - 3)(x - 3)(x + 3) \leqslant 0 $$ $$ (x + 3)(x - 2)(x - 3)^2 \leqslant 0 $$ 3. Найдём нули функции $f(x) = (x + 3)(x - 2)(x - 3)^2$: - $x = -3$ — корень кратности 1 (нечётной); - $x = 2$ — корень кратности 1 (нечётной); - $x = 3$ — корень кратности 2 (чётной). 4. Нанесём полученные нули функции на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое, точки отмечаем закрашенными (они входят в решение). Точки разбивают числовую ось на интервалы: - $(3; +\infty)$: при $x = 4$ получаем $(4+3)(4-2)(4-3)^2 = 7 \cdot 2 \cdot 1 > 0$ — знак «$+$»; - $(2; 3)$: при переходе через корень чётной кратности $x = 3$ знак не меняется — знак «$+$»; - $(-3; 2)$: при переходе через корень нечётной кратности $x = 2$ знак меняется — знак «$-»$; - $(-\infty; -3)$: при переходе через корень нечётной кратности $x = -3$ знак меняется — знак «$+$». 5. Нам требуются промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Выражение строго меньше нуля на интервале $(-3; 2)$ и обращается в ноль в точках $x = -3$, $x = 2$, $x = 3$. Объединяя интервал и нули функции, получаем: $$ x \in [-3; 2] \cup \{3\} $$ Ответ: $[-3; 2] \cup \{3\}$.