ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 32

В дидактических материалах цифра **4** перед уравнением обозначает уровень сложности задания (4 балла), поэтому исходное уравнение имеет вид: $$ \log_{x} \frac{1}{27} = 3 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ 2. По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$): $$ x^3 = \frac{1}{27} $$ 3. Представим правую часть уравнения в виде куба: $$ \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 $$ Получаем: $$ x^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 $$ Отсюда: $$ x = \frac{1}{3} $$ 4. Проверим соответствие ОДЗ: Число $\frac{1}{3}$ больше нуля и не равно единице ($\frac{1}{3} > 0$, $\frac{1}{3} \neq 1$), следовательно, найденное значение является корнем уравнения. --- *Примечание.* Если рассматривать число $4$ как числовой коэффициент при логарифме ($4 \log_{x} \frac{1}{27} = 3$): $$ \log_{x} \frac{1}{27} = \frac{3}{4} $$ $$ x^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{27} $$ $$ x^{\frac{3}{4}} = 3^{-3} $$ Возведём обе части уравнения в степень $\frac{4}{3}$: $$ x = \left(3^{-3}\right)^{\frac{4}{3}} = 3^{-4} = \frac{1}{81} $$ Значение $x = \frac{1}{81}$ также удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{3}$ (при трактовке числа 4 как коэффициента: $\frac{1}{81}$).