ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 30

30. Решим логарифмическое уравнение: $$ 4 \log_{3}(x^2 - x - 3) = 1 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ)** Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным: $$ x^2 - x - 3 > 0 $$ **2. Преобразование и решение уравнения** Разделим обе части исходного уравнения на $4$: $$ \log_{3}(x^2 - x - 3) = \frac{1}{4} $$ По определению логарифма: $$ x^2 - x - 3 = 3^{\frac{1}{4}} $$ $$ x^2 - x - 3 = \sqrt[4]{3} $$ Так как $\sqrt[4]{3} > 0$, условие $x^2 - x - 3 > 0$ выполняется автоматически для всех корней полученного уравнения. Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 - x - (3 + \sqrt[4]{3}) = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3 + \sqrt[4]{3})) = 1 + 4(3 + \sqrt[4]{3}) = 13 + 4\sqrt[4]{3} $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{13 + 4\sqrt[4]{3}}}{2} $$ $$ x_2 = \frac{1 + \sqrt{13 + 4\sqrt[4]{3}}}{2} $$ Оба корня входят в область допустимых значений. Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{13 + 4\sqrt[4]{3}}}{2}$