ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 19

19. Найдем значения $x$, при которых выражение $5 \log_{a} \frac{x+1}{8-5x}$ имеет смысл. По определению логарифм $\log_{a} b$ имеет смысл при $b > 0$, $a > 0$ и $a \neq 1$. По условию $0,1 < a < 0,7$, следовательно, основание логарифма удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$ при всех допустимых значениях параметра $a$. Таким образом, выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда подлогарифмическое выражение строго больше нуля: $$ \frac{x+1}{8-5x} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x+1}{5x-8} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. 2. Нуль знаменателя: $5x - 8 = 0 \Rightarrow x = 1,6$. Нанесем точки $x = -1$ и $x = 1,6$ на числовую прямую выколотыми точками и определим знаки дроби на полученных интервалах: - при $x > 1,6$ выражение положительно; - при $-1 < x < 1,6$ выражение отрицательно; - при $x < -1$ выражение положительно. Неравенству $\frac{x+1}{5x-8} < 0$ удовлетворяет интервал $(-1; 1,6)$. Ответ: $x \in (-1; 1,6)$.