ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 20

Найти область определения функции: $$y = \log_{6}\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right)$$ Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, поэтому подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$x^{2} - \frac{1}{4} > 0$$ Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $$\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) > 0$$ Корни уравнения $\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) = 0$: $$x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}$$ Решим неравенство методом интервалов: - при $x < -\frac{1}{2}$ выражение положительно ($+$); - при $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ выражение отрицательно ($- $); - при $x > \frac{1}{2}$ выражение положительно ($+$). Неравенство строгое, поэтому граничные точки не включаются. Получаем: $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$$ Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$