ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 21

4) Дана функция: $$y = \log_{2}(x^2 - 2x + 3)$$ Найдем множество значений данной функции. 1. Определим область допустимых значений аргумента (область определения функции): $$x^2 - 2x + 3 > 0$$ Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене: $$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$$ Так как $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то: $$(x - 1)^2 + 2 \ge 2 > 0$$ Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $x$, то есть область определения функции: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 2. Найдем множество значений функции: Пусть $t = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$. Квадратичная функция $t(x)$ достигает своего наименьшего значения при $x = 1$: $$t_{\min} = (1 - 1)^2 + 2 = 2$$ При $x \to \pm\infty$ значение $t \to +\infty$, функция $t(x)$ непрерывна, следовательно, $t$ принимает все значения из промежутка: $$t \in [2; +\infty)$$ Рассмотрим функцию $y = \log_{2} t$ на промежутке $t \in [2; +\infty)$. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является строго возрастающей и непрерывной. Наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении аргумента $t = 2$: $$y_{\min} = \log_{2} 2 = 1$$ Так как при $t \to +\infty$ значение $\log_{2} t \to +\infty$, функция принимает любые значения, большие или равные $1$. Следовательно, множество значений функции: $$E(y) = [1; +\infty)$$ Ответ: $[1; +\infty)$.