ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 16

16. 3) Найдем значения $x$, при которых выражение $\log_5 \frac{5}{2 - 3x}$ имеет смысл. По определению логарифма $\log_a b$, основание должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, а подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным ($b > 0$). Для данного выражения основание $a = 5$ удовлетворяет условиям ($5 > 0$, $5 \neq 1$). Следовательно, выражение имеет смысл при условии, что подлогарифмическое выражение больше нуля: $$ \frac{5}{2 - 3x} > 0 $$ Так как числитель дроби положителен ($5 > 0$), знак дроби определяется знаком её знаменателя. Дробь будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда знаменатель строго больше нуля: $$ 2 - 3x > 0 $$ Перенесем свободный член в правую часть: $$ -3x > -2 $$ Разделим обе части неравенства на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x < \frac{2}{3} $$ Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$. Ответ: $x < \frac{2}{3}$ (или $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$).