ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 22

**22.** Найдем область определения выражения (функции) $4 \log_{8}(x^2 - 8x + 15)$. Логарифм определен только для строго положительных значений аргумента, поэтому подлогарифмическое выражение должно удовлетворять неравенству: $$ x^2 - 8x + 15 > 0 $$ 1. Найдем нули квадратного трехчлена, решив уравнение: $$ x^2 - 8x + 15 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 15 \end{cases} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 5 $$ 2. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x - 3)(x - 5) > 0 $$ 3. Решим неравенство методом интервалов или по графику параболы: так как ветви параболы $y = x^2 - 8x + 15$ направлены вверх ($a = 1 > 0$), трехчлен принимает положительные значения вне отрезка между корнями: $$ x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty) $$ *(Дополнительно: если в задании требуется преобразовать выражение к простому основанию, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$)*: $$ 4 \log_{8}(x^2 - 8x + 15) = 4 \log_{2^3}(x^2 - 8x + 15) = \frac{4}{3}\log_{2}(x^2 - 8x + 15) $$ **Ответ:** Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.