ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 30

**30.** **4)** Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_2(x^2 - 3x - 8) = 1 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x^2 - 3x - 8 > 0 $$ По определению логарифма: $$ x^2 - 3x - 8 = 2^1 $$ $$ x^2 - 3x - 8 = 2 $$ Перенесем число $2$ в левую часть и приведем подобные слагаемые: $$ x^2 - 3x - 10 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ Находим корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Проверим найденные значения по ОДЗ ($x^2 - 3x - 8 > 0$): - При $x = 5$: $$ 5^2 - 3 \cdot 5 - 8 = 25 - 15 - 8 = 2 > 0 $$ Условие выполняется, корень подходит. - При $x = -2$: $$ (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 8 = 4 + 6 - 8 = 2 > 0 $$ Условие выполняется, корень подходит. Ответ: $-2$; $5$.