ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 9

9. Решим показательное уравнение: $$ 2^{x+1} - 3 \cdot 2^{-x+2} = 5 $$ Преобразуем степени, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $$ 2 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-x} = 5 $$ $$ 2 \cdot 2^x - \frac{12}{2^x} = 5 $$ Так как $2^x > 0$ при любых действительных значениях $x$, умножим обе части уравнения на $2^x$: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 12 = 5 \cdot 2^x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 12 = 0 $$ Введем новую переменную: пусть $t = 2^x$, причем $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 5t - 12 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $$ Вычислим корни уравнения: $$ t_1 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5 $$ Корень $t_2 = -1{,}5$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к замене для $t_1 = 4$: $$ 2^x = 4 $$ $$ 2^x = 2^2 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $x = 2$.