ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 11

Пусть $P_0$ — начальная цена товара, а $n$ — количество месяцев. Поскольку каждый месяц цена увеличивается на $6\%$, то через каждый месяц она составляет $100\% + 6\% = 106\%$ от цены предыдущего месяца, то есть увеличивается в $1 + \dfrac{6}{100} = 1{,}06$ раза (формула сложного процентного роста). Тогда через $n$ месяцев цена $P_n$ будет равна: $$ P_n = P_0 \cdot (1{,}06)^n $$ По условию задачи требуется найти $n$, при котором цены удвоятся, то есть $P_n = 2P_0$: $$ P_0 \cdot (1{,}06)^n = 2P_0 $$ Так как $P_0 > 0$, разделим обе части уравнения на $P_0$: $$ (1{,}06)^n = 2 $$ Прологарифмируем обе части уравнения (например, по основанию $10$): $$ \lg\left((1{,}06)^n\right) = \lg 2 $$ $$ n \cdot \lg 1{,}06 = \lg 2 $$ $$ n = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}06} $$ Используя приближённые значения логарифмов ($\lg 2 \approx 0{,}3010$ и $\lg 1{,}06 \approx 0{,}0253$): $$ n \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0253} \approx 11{,}9 $$ Проверим значения степеней: При $n = 11$: $1{,}06^{11} \approx 1{,}898 < 2$. При $n = 12$: $1{,}06^{12} \approx 2{,}012 > 2$. Таким образом, цены удвоятся приблизительно через 12 месяцев. Ответ: приблизительно через 12 месяцев.