ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 8

Решим уравнение: $$ 3 \cdot 16^x - 5 \cdot 36^x + 2 \cdot 81^x = 0 $$ Так как $81^x > 0$ при любых действительных значениях $x$, разделим обе части уравнения на $81^x$: $$ 3 \cdot \frac{16^x}{81^x} - 5 \cdot \frac{36^x}{81^x} + 2 = 0 $$ Преобразуем основания степеней, используя свойства $\dfrac{a^x}{b^x} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x$: $$ \frac{16}{81} = \left(\frac{4}{9}\right)^2, \quad \frac{36}{81} = \frac{4}{9} $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ 3 \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \left(\dfrac{4}{9}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к переменной $x$: 1) При $t = \dfrac{2}{3}$: $$ \left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3} $$ $$ \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} $$ 2) При $t = 1$: $$ \left(\frac{4}{9}\right)^x = 1 $$ $$ \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{4}{9}\right)^0 $$ $$ x = 0 $$ Ответ: $x = 0$, $x = \dfrac{1}{2}$.