ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 10

Решим уравнение: $$ 2^{x} + 4^{x} + 6^{x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} + \left(\frac{1}{7}\right)^{x} $$ Рассмотрим три возможных случая в зависимости от значения переменной $x$: а) Пусть $x < 0$. Так как основания степеней в левой части уравнения больше $1$ ($2 > 1$, $4 > 1$, $6 > 1$), то при отрицательных значениях показателя степени значения выражений строго меньше $1$: $2^x < 1$, $4^x < 1$, $6^x < 1$. Следовательно, сумма в левой части: $$ 2^x + 4^x + 6^x < 1 + 1 + 1 = 3 $$ Основания степеней в правой части уравнения меньше $1$ ($\frac{1}{3} < 1$, $\frac{1}{5} < 1$, $\frac{1}{7} < 1$), поэтому при отрицательных значениях $x$ значения выражений строго больше $1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$, $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 1$, $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 1$. Следовательно, сумма в правой части: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x + \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{7}\right)^x > 1 + 1 + 1 = 3 $$ Таким образом, при $x < 0$ левая часть строго меньше $3$, а правая часть строго больше $3$, поэтому равенство невозможно и корней на промежутке $(-\infty; 0)$ нет. б) Пусть $x > 0$. При положительных $x$: - для левой части: так как основания больше $1$, то $2^x > 1$, $4^x > 1$, $6^x > 1$, откуда: $$ 2^x + 4^x + 6^x > 3 $$ - для правой части: так как основания меньше $1$, то $\left(\frac{1}{3}\right)^x < 1$, $\left(\frac{1}{5}\right)^x < 1$, $\left(\frac{1}{7}\right)^x < 1$, откуда: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x + \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{7}\right)^x < 3 $$ Так как левая часть строго больше $3$, а правая часть строго меньше $3$, равенство невозможно и корней на промежутке $(0; +\infty)$ нет. в) Пусть $x = 0$. Подставим данное значение в исходное уравнение: $$ 2^0 + 4^0 + 6^0 = \left(\frac{1}{3}\right)^0 + \left(\frac{1}{5}\right)^0 + \left(\frac{1}{7}\right)^0 $$ $$ 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 $$ $$ 3 = 3 $$ Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 0$ является единственным корнем уравнения. Ответ: $x = 0$.