ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 7

1) Решим уравнение: $$ 5^{x-2} + 2^{x+1} + 2^{x+2} - 5^x = 0 $$ Сгруппируем слагаемые с основанием $2$ в левой части уравнения, а слагаемые с основанием $5$ перенесём в правую часть: $$ 2^{x+1} + 2^{x+2} = 5^x - 5^{x-2} $$ Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем: $$ 2^{x-2} \cdot \left(2^3 + 2^4\right) = 5^{x-2} \cdot \left(5^2 - 1\right) $$ Вычислим значения в скобках: $$ 2^{x-2} \cdot (8 + 16) = 5^{x-2} \cdot (25 - 1) $$ $$ 24 \cdot 2^{x-2} = 24 \cdot 5^{x-2} $$ Разделим обе части уравнения на $24 \cdot 5^{x-2} \neq 0$: $$ \frac{2^{x-2}}{5^{x-2}} = 1 $$ $$ \left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = 1 $$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$, запишем: $$ \left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x - 2 = 0 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- 2) Решим уравнение: $$ 2^{x-1} - 3^x = 3^{x-1} - 2^{x+2} $$ Сгруппируем члены со степенями с основанием $2$ в левой части, а с основанием $3$ — в правой части: $$ 2^{x-1} + 2^{x+2} = 3^x + 3^{x-1} $$ Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем: $$ 2^{x-1} \cdot \left(1 + 2^3\right) = 3^{x-1} \cdot \left(3^1 + 1\right) $$ Вычислим значения в скобках: $$ 2^{x-1} \cdot (1 + 8) = 3^{x-1} \cdot (3 + 1) $$ $$ 9 \cdot 2^{x-1} = 4 \cdot 3^{x-1} $$ Разделим обе части уравнения на $9 \cdot 3^{x-1} \neq 0$: $$ \frac{2^{x-1}}{3^{x-1}} = \frac{4}{9} $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x - 1 = 2 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$.