ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 12

Пусть первоначальная заработная плата граждан составляет $S_0$, а первоначальный уровень цен — $P_0$. Уровень жизни определяется покупательской способностью, то есть количеством товаров, которое можно приобрести на зарплату: $$R_0 = \frac{S_0}{P_0}$$ 1. Зарплата увеличивается ежегодно на $50\%$, то есть в $1 + 0,5 = 1,5$ раза каждый год. Через $x$ лет она составит: $$S(x) = S_0 \cdot 1,5^x$$ 2. Цены увеличиваются ежемесячно на $5\%$, то есть каждый месяц умножаются на $1 + 0,05 = 1,05$. В одном году $12$ месяцев, следовательно, за $x$ лет пройдет $12x$ месяцев. Через $x$ лет уровень цен составит: $$P(x) = P_0 \cdot 1,05^{12x} = P_0 \cdot \left(1,05^{12}\right)^x$$ 3. Через $x$ лет покупательская способность станет равной: $$R(x) = \frac{S(x)}{P(x)} = \frac{S_0 \cdot 1,5^x}{P_0 \cdot \left(1,05^{12}\right)^x} = R_0 \cdot \left(\frac{1,5}{1,05^{12}}\right)^x$$ По условию задачи граждане будут жить в 2 раза хуже, когда покупательская способность уменьшится в 2 раза, то есть $R(x) = \frac{1}{2} R_0$: $$\left(\frac{1,5}{1,05^{12}}\right)^x = \frac{1}{2}$$ 4. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: $$\lg \left(\left(\frac{1,5}{1,05^{12}}\right)^x\right) = \lg\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$x \cdot \lg\left(\frac{1,5}{1,05^{12}}\right) = -\lg 2$$ $$x \cdot (\lg 1,5 - 12\lg 1,05) = -\lg 2$$ $$x = \frac{-\lg 2}{\lg 1,5 - 12\lg 1,05} = \frac{\lg 2}{12\lg 1,05 - \lg 1,5}$$ 5. Вычислим приближенные значения логарифмов: - $\lg 2 \approx 0,3010$; - $\lg 1,5 \approx 0,1761$; - $\lg 1,05 \approx 0,0212$. Подставим эти значения: $$12\lg 1,05 - \lg 1,5 \approx 12 \cdot 0,0212 - 0,1761 = 0,2544 - 0,1761 = 0,0783$$ $$x \approx \frac{0,3010}{0,0783} \approx 3,84$$ Округляя до целого числа лет, получаем примерно 4 года. Ответ: примерно через 4 года.