ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 6

Применим формулу разности квадратов к искомому выражению: $$ 3^{2x} - 3^{-2x} = (3^x)^2 - (3^{-x})^2 = (3^x - 3^{-x})(3^x + 3^{-x}) $$ Значение первой скобки известно из условия: $3^x - 3^{-x} = 4$. Найдем значение выражения $3^x + 3^{-x}$. Для этого возведем данное в условии равенство в квадрат: $$ (3^x - 3^{-x})^2 = 4^2 $$ $$ (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 16 $$ Так как $3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1$, получаем: $$ 3^{2x} - 2 + 3^{-2x} = 16 $$ $$ 3^{2x} + 3^{-2x} = 18 $$ Теперь рассмотрим квадрат суммы $(3^x + 3^{-x})^2$: $$ (3^x + 3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + 3^{-2x} = 3^{2x} + 3^{-2x} + 2 $$ Подставим найденное значение суммы квадратов: $$ (3^x + 3^{-x})^2 = 18 + 2 = 20 $$ Поскольку показательная функция принимает только положительные значения ($3^x > 0$ и $3^{-x} > 0$ при любых действительных $x$), сумма $3^x + 3^{-x} > 0$. Следовательно: $$ 3^x + 3^{-x} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $$ Вычислим искомое выражение: $$ 3^{2x} - 3^{-2x} = (3^x - 3^{-x})(3^x + 3^{-x}) = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5} $$ Ответ: $8\sqrt{5}$.