ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 5

По формулам сокращённого умножения возведём в квадрат выражения $(3^x + 3^{-x})$ и $(3^x - 3^{-x})$, учитывая, что $3^x \cdot 3^{-x} = 3^{x - x} = 3^0 = 1$: $$ (3^x + 3^{-x})^2 = (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2 + 3^{-2x} $$ $$ (3^x - 3^{-x})^2 = (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 3^{2x} - 2 + 3^{-2x} $$ Выразим квадрат суммы через квадрат разности: $$ (3^x + 3^{-x})^2 = (3^x - 3^{-x})^2 + 4 $$ По условию $3^x - 3^{-x} = 4$. Подставим это значение: $$ (3^x + 3^{-x})^2 = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20 $$ Так как для любого действительного $x$ значения $3^x > 0$ и $3^{-x} > 0$, их сумма строго положительна ($3^x + 3^{-x} > 0$). Значит: $$ 3^x + 3^{-x} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $$ Ответ: $2\sqrt{5}$.