ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 17

Дано показательное уравнение: $$ 2^{(a-1)x^2 + 2(a-3)x + a} = \frac{1}{4} $$ Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$: $$ \frac{1}{4} = 2^{-2} $$ Тогда исходное уравнение принимает вид: $$ 2^{(a-1)x^2 + 2(a-3)x + a} = 2^{-2} $$ Так как основания степеней равны и отличны от единицы, приравниваем показатели: $$ (a-1)x^2 + 2(a-3)x + a = -2 $$ Перенесем слагаемое $-2$ в левую часть: $$ (a-1)x^2 + 2(a-3)x + a + 2 = 0 $$ Уравнение будет иметь единственный корень в двух случаях: 1. **Уравнение является линейным** (коэффициент при $x^2$ равен нулю): $$a - 1 = 0 \implies a = 1$$ Подставим $a = 1$ в уравнение: $$0 \cdot x^2 + 2(1 - 3)x + 1 + 2 = 0$$ $$-4x + 3 = 0$$ $$4x = 3$$ $$x = \frac{3}{4}$$ Получен единственный корень, следовательно, значение $a = 1$ удовлетворяет условию задачи. 2. **Уравнение является квадратным и имеет единственный корень** (коэффициент при $x^2$ не равен нулю, а дискриминант равен нулю): $$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = (2(a - 3))^2 - 4(a - 1)(a + 2)$$ Используем четверть дискриминанта $\frac{D}{4}$: $$\frac{D}{4} = (a - 3)^2 - (a - 1)(a + 2)$$ $$\frac{D}{4} = a^2 - 6a + 9 - (a^2 + a - 2)$$ $$\frac{D}{4} = a^2 - 6a + 9 - a^2 - a + 2 = -7a + 11$$ Приравняем дискриминант к нулю: $$-7a + 11 = 0$$ $$7a = 11$$ $$a = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$$ Так как $1\frac{4}{7} \neq 1$, уравнение действительно является квадратным и при данном значении параметра имеет ровно один корень. Ответ: при $a = 1$ и $a = 1\frac{4}{7}$.