ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 16

Дано уравнение: $$ 9^x - 2(3b - 2) \cdot 3^x + 5b^2 - 4b = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $3^x > 0$ при любых действительных $x$, переменная $t$ может принимать только положительные значения ($t > 0$). При этом каждому значению $t > 0$ соответствует ровно одно значение $x = \log_3 t$. Следовательно, исходное уравнение будет иметь два различных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 2(3b - 2)t + 5b^2 - 4b = 0 $$ имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$, $t_2 > 0$, $t_1 \neq t_2$). Для этого должны одновременно выполняться условия: 1. Дискриминант строго больше нуля ($D_1 = \frac{D}{4} > 0$). 2. Произведение корней положительно ($t_1 t_2 > 0$). 3. Сумма корней положительна ($t_1 + t_2 > 0$). Найдем четверть дискриминанта $\frac{D}{4}$: $$ \frac{D}{4} = (3b - 2)^2 - 1 \cdot (5b^2 - 4b) = 9b^2 - 12b + 4 - 5b^2 + 4b = 4b^2 - 8b + 4 = 4(b - 1)^2 $$ Условие $\frac{D}{4} > 0$ выполняется при всех $b \neq 1$. Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ t_{1, 2} = (3b - 2) \pm \sqrt{4(b - 1)^2} = (3b - 2) \pm 2(b - 1) $$ $$ t_1 = (3b - 2) + 2(b - 1) = 3b - 2 + 2b - 2 = 5b - 4 $$ $$ t_2 = (3b - 2) - 2(b - 1) = 3b - 2 - 2b + 2 = b $$ Корни различны при $t_1 \neq t_2$: $$ 5b - 4 \neq b \iff 4b \neq 4 \iff b \neq 1 $$ Оба корня должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} t_1 > 0 \\ t_2 > 0 \\ b \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} 5b - 4 > 0 \\ b > 0 \\ b \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} b > 0{,}8 \\ b > 0 \\ b \neq 1 \end{cases} $$ Пересекая полученные условия, находим: $$ b > 0{,}8 \quad \text{и} \quad b \neq 1 $$ Ответ: при $b > 0{,}8$, $b \neq 1$ (или $b \in (0{,}8; 1) \cup (1; +\infty)$).