ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 18

Дано показательное уравнение с параметром: $$ 5^{2x} - (a - 5) \cdot 5^x - 5a = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, получаем ограничение $t > 0$. Тогда исходное уравнение сводится к квадратному относительно $t$: $$ t^2 - (a - 5)t - 5a = 0 $$ Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $$ D = (-(a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5a) = a^2 - 10a + 25 + 20a = a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2 $$ Так как $(a + 5)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни: $$ t_1 = \frac{(a - 5) + (a + 5)}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ $$ t_2 = \frac{(a - 5) - (a + 5)}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. $5^x = -5$ — уравнение не имеет корней, так как $5^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. 2. $5^x = a$ — уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть строго положительна, то есть при $a > 0$ (в этом случае корень $x = \log_5 a$). Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень (а именно ровно один) при $a > 0$. Ответ: при $a > 0$.