ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 15

Дано уравнение: $$ 4^x - (5a - 3) \cdot 2^x + 4a^2 - 3a = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, получаем ограничение $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$: $$ t^2 - (5a - 3)t + 4a^2 - 3a = 0 $$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (-(5a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - 3a) = 25a^2 - 30a + 9 - 16a^2 + 12a = 9a^2 - 18a + 9 = 9(a - 1)^2 $$ Так как $9(a - 1)^2 \geqslant 0$ при всех действительных $a$, корни квадратного уравнения всегда действительны: $$ t_{1, 2} = \frac{5a - 3 \pm \sqrt{9(a - 1)^2}}{2} = \frac{5a - 3 \pm 3(a - 1)}{2} $$ $$ t_1 = \frac{5a - 3 + 3a - 3}{2} = \frac{8a - 6}{2} = 4a - 3 $$ $$ t_2 = \frac{5a - 3 - 3a + 3}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ Исходное уравнение $2^x = t$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи: **1. Дискриминант равен нулю ($D = 0$):** $$ 9(a - 1)^2 = 0 \iff a = 1 $$ При $a = 1$ корни совпадают: $$ t_1 = t_2 = 1 $$ Поскольку $t = 1 > 0$, уравнение $2^x = 1$ имеет единственный корень $x = 0$. Значит, $a = 1$ удовлетворяет условию задачи. **2. Дискриминант строго больше нуля ($D > 0$, то есть $a \neq 1$):** В этом случае уравнение имеет два различных корня $t_1 = 4a - 3$ и $t_2 = a$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если один из корней положителен, а второй неположителен (меньше или равен нулю). Рассмотрим две системы условий: 1) $\begin{cases} t_2 \leqslant 0 \\ t_1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a \leqslant 0 \\ 4a - 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a \leqslant 0 \\ a > \frac{3}{4} \end{cases}$ — решений нет. 2) $\begin{cases} t_1 \leqslant 0 \\ t_2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 4a - 3 \leqslant 0 \\ a > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a \leqslant \frac{3}{4} \\ a > 0 \end{cases} \iff 0 < a \leqslant \frac{3}{4}$ Условие $a \neq 1$ для найденного промежутка выполняется автоматически, так как $\frac{3}{4} < 1$. Объединяя результаты обоих случаев, получаем: $a \in \left(0; \frac{3}{4}\right] \cup \{1\}$. Ответ: при $0 < a \leqslant \frac{3}{4}$ и $a = 1$.