ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 20

**20.** Дано показательное уравнение: $$ 2^{5x - 1} \cdot 3^{4x + 1} \cdot 7^{3x + 3} = 504^{x - 2} $$ Разложим основание $504$ в правой части уравнения на простые множители: $$ 504 = 8 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 $$ Тогда правую часть можно переписать в виде: $$ 504^{x - 2} = (2^3 \cdot 3^2 \cdot 7)^{x - 2} = (2^3)^{x - 2} \cdot (3^2)^{x - 2} \cdot 7^{x - 2} = 2^{3x - 6} \cdot 3^{2x - 4} \cdot 7^{x - 2} $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ 2^{5x - 1} \cdot 3^{4x + 1} \cdot 7^{3x + 3} = 2^{3x - 6} \cdot 3^{2x - 4} \cdot 7^{x - 2} $$ Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, разделим обе части уравнения на выражение $2^{3x - 6} \cdot 3^{2x - 4} \cdot 7^{x - 2} > 0$: $$ \frac{2^{5x - 1}}{2^{3x - 6}} \cdot \frac{3^{4x + 1}}{3^{2x - 4}} \cdot \frac{7^{3x + 3}}{7^{x - 2}} = 1 $$ Применяя свойство степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$, получаем: $$ 2^{(5x - 1) - (3x - 6)} \cdot 3^{(4x + 1) - (2x - 4)} \cdot 7^{(3x + 3) - (x - 2)} = 1 $$ Упростим показатели степеней: $$ 2^{2x + 5} \cdot 3^{2x + 5} \cdot 7^{2x + 5} = 1 $$ Так как показатели степеней одинаковы, объединим основания по свойству $a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n$: $$ (2 \cdot 3 \cdot 7)^{2x + 5} = 1 $$ $$ 42^{2x + 5} = 42^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x + 5 = 0 $$ $$ 2x = -5 $$ $$ x = -2,5 $$ Ответ: $-2,5$.