ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 13

**1)** Решим уравнение: $$ 5^x \cdot 2^{\frac{2 + x}{x}} = 40, \quad \text{где } 8^\alpha = 5 $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Представим число $40$ в виде произведения простых множителей: $40 = 5 \cdot 2^3$. Разделим обе части уравнения на $40$: $$ \frac{5^x}{5} \cdot \frac{2^{\frac{2 + x}{x}}}{2^3} = 1 $$ Применяя свойство частного степеней, получаем: $$ 5^{x-1} \cdot 2^{\frac{2 + x}{x} - 3} = 1 $$ Преобразуем показатель степени двойки: $$ \frac{2 + x}{x} - 3 = \frac{2 + x - 3x}{x} = \frac{2 - 2x}{x} = -\frac{2(x - 1)}{x} $$ Уравнение принимает вид: $$ 5^{x-1} \cdot 2^{-\frac{2(x-1)}{x}} = 1 $$ $$ \left(5 \cdot 2^{-\frac{2}{x}}\right)^{x-1} = 1 $$ Произведение равно единице в следующих случаях: 1. Показатель степени равен нулю: $$ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 $$ Значение $x_1 = 1$ входит в ОДЗ. 2. Основание степени равно единице (при $x - 1 \neq 0$): $$ 5 \cdot 2^{-\frac{2}{x}} = 1 $$ $$ 2^{\frac{2}{x}} = 5 $$ По условию задано число $\alpha$, такое что $8^\alpha = 5$. Так как $8 = 2^3$, то: $$ (2^3)^\alpha = 5 \implies 2^{3\alpha} = 5 $$ Подставим это выражение в уравнение: $$ 2^{\frac{2}{x}} = 2^{3\alpha} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ \frac{2}{x} = 3\alpha \implies x_2 = \frac{2}{3\alpha} $$ Поскольку $8^\alpha = 5 \neq 1$, то $\alpha \neq 0$, следовательно, корень существует и входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{2}{3\alpha}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 2^x \cdot 5^{\frac{1 + x}{x}} = 50, \quad \text{где } 5^\alpha = 4 $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Представим число $50$ в виде произведения простых множителей: $50 = 2 \cdot 5^2$. Разделим обе части уравнения на $50$: $$ \frac{2^x}{2} \cdot \frac{5^{\frac{1 + x}{x}}}{5^2} = 1 $$ $$ 2^{x-1} \cdot 5^{\frac{1 + x}{x} - 2} = 1 $$ Преобразуем показатель степени пятерки: $$ \frac{1 + x}{x} - 2 = \frac{1 + x - 2x}{x} = \frac{1 - x}{x} = -\frac{x - 1}{x} $$ Уравнение принимает вид: $$ 2^{x-1} \cdot 5^{-\frac{x-1}{x}} = 1 $$ $$ \left(2 \cdot 5^{-\frac{1}{x}}\right)^{x-1} = 1 $$ Рассмотрим два случая: 1. Показатель степени равен нулю: $$ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 $$ Значение $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ. 2. Основание степени равно единице (при $x - 1 \neq 0$): $$ 2 \cdot 5^{-\frac{1}{x}} = 1 $$ $$ 5^{\frac{1}{x}} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ \left(5^{\frac{1}{x}}\right)^2 = 2^2 \implies 5^{\frac{2}{x}} = 4 $$ По условию $5^\alpha = 4$. Подставим это равенство: $$ 5^{\frac{2}{x}} = 5^\alpha $$ Приравниваем показатели степеней: $$ \frac{2}{x} = \alpha \implies x_2 = \frac{2}{\alpha} $$ Так как $5^\alpha = 4 \neq 1$, то $\alpha \neq 0$, следовательно, корень существует и входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{2}{\alpha}$.