ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / КР-3 / вариант 1 - 5

5. Решим показательное уравнение: $$ 7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x $$ Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем слагаемые: $$ 7^x \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^x = 2^x \cdot 2^5 + 3 \cdot 2^x $$ Вынесем общие множители $7^x$ в левой части и $2^x$ в правой части за скобки: $$ 7^x \cdot (7 + 3) = 2^x \cdot (2^5 + 3) $$ Вычислим значения в скобках ($2^5 = 32$): $$ 7^x \cdot 10 = 2^x \cdot (32 + 3) $$ $$ 7^x \cdot 10 = 2^x \cdot 35 $$ Разделим обе части уравнения на $10 \cdot 2^x$ (так как $2^x > 0$ при любых действительных значениях $x$): $$ \frac{7^x}{2^x} = \frac{35}{10} $$ Применив свойство степени $\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$ и сократив дробь в правой части на $5$, получаем: $$ \left(\frac{7}{2}\right)^x = \frac{7}{2} $$ $$ \left(\frac{7}{2}\right)^x = \left(\frac{7}{2}\right)^1 $$ Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $$ x = 1 $$ Ответ: $1$