ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / КР-3 / вариант 1 - 4

1) Решим неравенство: $$ (\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5} $$ Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием $5$: $$ \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}, \quad \frac{1}{5} = 5^{-1} $$ $$ \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{x-6} < 5^{-1} $$ $$ 5^{\frac{x-6}{2}} < 5^{-1} $$ Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ \frac{x-6}{2} < -1 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ x - 6 < -2 $$ $$ x < 4 $$ В виде числового промежутка: $x \in (-\infty; 4)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 4)$ --- 2) Решим неравенство: $$ \left(\frac{2}{13}\right)^{x^2 - 1} \geq 1 $$ Представим число $1$ в виде степени с основанием $\frac{2}{13}$: $$ 1 = \left(\frac{2}{13}\right)^0 $$ $$ \left(\frac{2}{13}\right)^{x^2 - 1} \geq \left(\frac{2}{13}\right)^0 $$ Так как основание степени $0 < \frac{2}{13} < 1$, то показательная функция убывает, и при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 - 1 \leq 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 1)(x + 1) \leq 0 $$ Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Решим неравенство методом интервалов или графически (ветви параболы $y = x^2 - 1$ направлены вверх, значения меньше или равны нулю находятся между корнями, включая их): $$ -1 \leq x \leq 1 $$ В виде числового промежутка: $x \in [-1; 1]$. **Ответ:** $x \in [-1; 1]$