ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 11 / вариант 2 - 21

**21. (4)** Построить график функции: $$ y = 2^x - 3 $$ **План построения и свойства функции:** 1. **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Множество значений:** так как $2^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то $2^x - 3 > -3$: $$ E(y) = (-3; +\infty) $$ 3. **Асимптота:** прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой графика при $x \to -\infty$. 4. **Монотонность:** функция строго возрастает на всей области определения, так как основание степени $2 > 1$. 5. **Геометрическое преобразование:** график функции $y = 2^x - 3$ получается сдвигом (параллельным переносом) графика показательной функции $y = 2^x$ вдоль оси ординат $Oy$ на $3$ единицы вниз. 6. **Таблица значений контрольных точек:** | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $2^x$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | | $y = 2^x - 3$ | $-2{,}75$ | $-2{,}5$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $5$ | **Пересечение с осями координат:** * С осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = -2$, то есть точка $(0; -2)$. * С осью $Ox$: $2^x - 3 = 0 \iff 2^x = 3 \iff x = \log_2 3 \approx 1{,}58$, то есть точка $(\log_2 3; 0)$. **Построение графика:** 1. Провести пунктирную горизонтальную прямую $y = -3$ (асимптоту). 2. Нанести на координатную плоскость точки $(-2; -2{,}75)$, $(-1; -2{,}5)$, $(0; -2)$, $(1; -1)$, $(2; 1)$, $(3; 5)$. 3. Соединить отмеченные точки плавной непрерывной линией, приближая график слева к асимптоте $y = -3$, а справа круто поднимая его вверх в первой четверти.