ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 11 / вариант 2 - 22

Для определения числа корней уравнения $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 2 - (x - 1)^2 $$ построим в одной системе координат графики функций $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = 2 - (x - 1)^2$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения этих графиков. 1. График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — показательная кривая: - область определения: $D(y) = \mathbb{R}$; - функция строго убывает на всей области определения; - область значений: $E(y) = (0; +\infty)$; - составим таблицу значений: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $1$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{9}$ | 2. График функции $y = 2 - (x - 1)^2$ — парабола: - вершина параболы находится в точке $(1; 2)$; - ветви параболы направлены вниз; - составим таблицу значений: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $-2$ | 3. Анализ взаимного расположения графиков: - При $x = 0$ значения обеих функций совпадают: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \quad \text{и} \quad 2 - (0 - 1)^2 = 1 $$ Следовательно, графики имеют общую точку $(0; 1)$, то есть $x = 0$ — корень уравнения. - При $x < 0$ показательная функция принимает значения больше $1$, а квадратичная — меньше $1$. Значит, при $x < 0$ точек пересечения нет. - При $x \in (0; 2]$ парабола лежит выше графика показательной функции, так как при $x = 1$ значение квадратичной функции равно $2$, а показательной — $\frac{1}{3}$; при $x = 2$ значение квадратичной функции равно $1$, а показательной — $\frac{1}{9}$. - При $x = 3$ значение квадратичной функции равно $-2$, а показательная функция принимает значение $\frac{1}{27} > 0$. Так как обе функции непрерывны, на интервале $(2; 3)$ графики пересекаются во второй точке. - При $x > 3$ квадратичная функция принимает значения меньше $-2$, а показательная функция всегда строго положительна $\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0\right)$, поэтому других точек пересечения нет. Таким образом, графики функций имеют ровно две точки пересечения. Ответ: 2 корня.