ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 11 / вариант 2 - 19

19. [5] Найдем область определения функции $y = 2,5^{\sqrt{x^2-9}}$. Показательная функция с основанием $2,5$ определена при любых действительных значениях показателя. Следовательно, выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда определен квадратный корень, то есть подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^2 - 9 \ge 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 3)(x + 3) \ge 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: 1. Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$: $$ x_1 = -3, \quad x_2 = 3 $$ 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. 3. Определим знаки выражения $(x - 3)(x + 3)$ на каждом промежутке: - на промежутке $(-\infty; -3)$ выражение положительно; - на промежутке $(-3; 3)$ выражение отрицательно (например, при $x = 0$: $(0 - 3)(0 + 3) = -9 < 0$); - на промежутке $(3; +\infty)$ выражение положительно. Неравенство нестрогое, поэтому граничные точки $x = -3$ и $x = 3$ входят в область определения: $$ x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.