ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 1

1. а) Решим уравнение: $$\sqrt{2x^2 - 12x + 46} - \sqrt{x^2 - 6x + 22} = 3$$ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении второго корня: $$x^2 - 6x + 22 = (x - 3)^2 + 13 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$ Следовательно, область допустимых значений уравнения — вся числовая прямая: $x \in \mathbb{R}$. Заметим, что выражение под первым корнем можно выразить через выражение под вторым корнем: $$2x^2 - 12x + 46 = 2(x^2 - 6x + 22) + 2$$ Введём замену переменной: $$\sqrt{x^2 - 6x + 22} = u, \quad \text{где } u \ge 0$$ Тогда подкоренное выражение первого корня равно $2u^2 + 2$, и исходное уравнение принимает вид: $$\sqrt{2u^2 + 2} - u = 3$$ Перенесём $u$ в правую часть: $$\sqrt{2u^2 + 2} = u + 3$$ Так как $u \ge 0$, то $u + 3 > 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$2u^2 + 2 = (u + 3)^2$$ $$2u^2 + 2 = u^2 + 6u + 9$$ $$u^2 - 6u - 7 = 0$$ По теореме Виета найдём корни квадратного уравнения: $$u_1 = 7, \quad u_2 = -1$$ Так как $u \ge 0$, корень $u_2 = -1$ не удовлетворяет условию замены. Вернёмся к переменной $x$ для $u = 7$: $$\sqrt{x^2 - 6x + 22} = 7$$ Возведём обе части в квадрат: $$x^2 - 6x + 22 = 49$$ $$x^2 - 6x - 27 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 9$$ Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = 9$. --- б) Решим уравнение: $$\sqrt{2x^2 - 8x + 49} - \sqrt{x^2 - 4x + 21} = 4$$ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении второго корня: $$x^2 - 4x + 21 = (x - 2)^2 + 17 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$ Следовательно, область допустимых значений уравнения — вся числовая прямая: $x \in \mathbb{R}$. Заметим, что выражение под первым корнем связано с подкоренным выражением второго: $$2x^2 - 8x + 49 = 2(x^2 - 4x + 21) + 7$$ Введём замену переменной: $$\sqrt{x^2 - 4x + 21} = u, \quad \text{где } u \ge 0$$ Тогда уравнение примет вид: $$\sqrt{2u^2 + 7} - u = 4$$ Перенесём $u$ в правую часть: $$\sqrt{2u^2 + 7} = u + 4$$ Так как $u \ge 0$, то $u + 4 > 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$2u^2 + 7 = (u + 4)^2$$ $$2u^2 + 7 = u^2 + 8u + 16$$ $$u^2 - 8u - 9 = 0$$ По теореме Виета найдём корни квадратного уравнения: $$u_1 = 9, \quad u_2 = -1$$ Так как $u \ge 0$, корень $u_2 = -1$ является посторонним. Вернёмся к переменной $x$ для $u = 9$: $$\sqrt{x^2 - 4x + 21} = 9$$ Возведём обе части в квадрат: $$x^2 - 4x + 21 = 81$$ $$x^2 - 4x - 60 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = -6, \quad x_2 = 10$$ Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = 10$.