ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 3

а) Решим уравнение: $$ |2x + 5| = \sqrt{x + 3} + 1 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $$ x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3 $$ 2. Нуль подмодульного выражения: $2x + 5 = 0 \iff x = -2{,}5$. Рассмотрим уравнение на двух промежутках с учетом ОДЗ: **Случай 1:** $-3 \le x < -2{,}5$. На этом промежутке $2x + 5 < 0$, поэтому $|2x + 5| = -(2x + 5) = -2x - 5$. Уравнение принимает вид: $$ -2x - 5 = \sqrt{x + 3} + 1 $$ $$ \sqrt{x + 3} = -2x - 6 $$ Так как квадратный корень неотрицателен, правая часть должна удовлетворять условию: $$ -2x - 6 \ge 0 \iff 2x \le -6 \iff x \le -3 $$ С учетом условия промежутка $-3 \le x < -2{,}5$, единственным возможным значением является $x = -3$. Проверим его: $$ \sqrt{-3 + 3} = -2(-3) - 6 \iff 0 = 0 \quad \text{(верно)} $$ Значит, $x_1 = -3$ — корень уравнения. **Случай 2:** $x \ge -2{,}5$. На этом промежутке $2x + 5 \ge 0$, поэтому $|2x + 5| = 2x + 5$. Уравнение принимает вид: $$ 2x + 5 = \sqrt{x + 3} + 1 $$ $$ \sqrt{x + 3} = 2x + 4 $$ Так как $x \ge -2{,}5$, правая часть должна быть неотрицательной: $$ 2x + 4 \ge 0 \iff x \ge -2 $$ При $x \ge -2$ возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x + 3 = (2x + 4)^2 $$ $$ x + 3 = 4x^2 + 16x + 16 $$ $$ 4x^2 + 15x + 13 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot 13 = 225 - 208 = 17 $$ $$ x = \frac{-15 \pm \sqrt{17}}{8} $$ Проверим условие $x \ge -2$: - Для корня $x = \frac{-15 - \sqrt{17}}{8}$: так как $\sqrt{17} > 4$, то $-15 - \sqrt{17} < -19$, откуда $x < -\frac{19}{8} = -2{,}375 < -2$ — корень посторонний. - Для корня $x = \frac{-15 + \sqrt{17}}{8}$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, получаем $-11 < -15 + \sqrt{17} < -10$, откуда $-\frac{11}{8} < x < -\frac{10}{8}$, то есть $x > -2$ — условие выполняется. Значит, $x_2 = \frac{\sqrt{17} - 15}{8}$. Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{\sqrt{17} - 15}{8}$. --- б) Решим уравнение: $$ 3 - \sqrt{x + 1} = |2x - 2| $$ 1. ОДЗ уравнения: $$ x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1 $$ 2. Выразим квадратный корень: $$ \sqrt{x + 1} = 3 - |2x - 2| $$ Так как $\sqrt{x + 1} \ge 0$, должно выполняться условие: $$ 3 - |2x - 2| \ge 0 \iff |2x - 2| \le 3 $$ $$ -3 \le 2x - 2 \le 3 $$ $$ -1 \le 2x \le 5 \iff -0{,}5 \le x \le 2{,}5 $$ С учетом ОДЗ переменная $x$ должна принадлежать отрезку $[-0{,}5; 2{,}5]$. 3. Нуль подмодульного выражения: $2x - 2 = 0 \iff x = 1$. Раскроем модуль на двух интервалах: **Случай 1:** $-0{,}5 \le x \le 1$. Здесь $2x - 2 \le 0$, следовательно, $|2x - 2| = -(2x - 2) = 2 - 2x$. Уравнение принимает вид: $$ \sqrt{x + 1} = 3 - (2 - 2x) $$ $$ \sqrt{x + 1} = 2x + 1 $$ При $x \in [-0{,}5; 1]$ обе части неотрицательны. Возведем в квадрат: $$ x + 1 = (2x + 1)^2 $$ $$ x + 1 = 4x^2 + 4x + 1 $$ $$ 4x^2 + 3x = 0 $$ $$ x(4x + 3) = 0 $$ Получаем корни: $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -0{,}75 $$ Число $x = -0{,}75$ не входит в рассматриваемый промежуток $[-0{,}5; 1]$ (является посторонним корнем). Число $x = 0$ принадлежит промежутку $[-0{,}5; 1]$. Значит, $x_1 = 0$ — корень уравнения. **Случай 2:** $1 < x \le 2{,}5$. Здесь $2x - 2 > 0$, следовательно, $|2x - 2| = 2x - 2$. Уравнение принимает вид: $$ \sqrt{x + 1} = 3 - (2x - 2) $$ $$ \sqrt{x + 1} = 5 - 2x $$ При $x \in (1; 2{,}5]$ обе части неотрицательны. Возведем в квадрат: $$ x + 1 = (5 - 2x)^2 $$ $$ x + 1 = 25 - 20x + 4x^2 $$ $$ 4x^2 - 21x + 24 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 24 = 441 - 384 = 57 $$ $$ x = \frac{21 \pm \sqrt{57}}{8} $$ Оценим корни с учетом промежутка $(1; 2{,}5]$: - Для корня $x = \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$: так как $\sqrt{57} > 7$, получаем $x > \frac{28}{8} = 3{,}5 > 2{,}5$ — корень посторонний. - Для корня $x = \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$: так как $7 < \sqrt{57} < 8$, получаем: $$ \frac{21 - 8}{8} < \frac{21 - \sqrt{57}}{8} < \frac{21 - 7}{8} \iff 1{,}625 < x < 1{,}75 $$ Значение принадлежит промежутку $(1; 2{,}5]$. Значит, $x_2 = \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$.