ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 19

1) Дано уравнение $\sqrt{x+1} = x + a$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x+1}$, где $t \geqslant 0$. Тогда $t^2 = x + 1$, откуда $x = t^2 - 1$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ t = t^2 - 1 + a $$ $$ t^2 - t + a - 1 = 0 $$ Каждому неотрицательному значению $t$ ($t \geqslant 0$) соответствует единственное значение $x = t^2 - 1$. Поэтому исходное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один неотрицательный корень. Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 1 - 4a + 4 = 5 - 4a $$ Рассмотрим возможные случаи: а) Дискриминант равен нулю ($D = 0$): $$ 5 - 4a = 0 \implies a = 1,25 $$ В этом случае уравнение имеет единственный корень: $$ t = \frac{1}{2} $$ Так как $t = \frac{1}{2} \geqslant 0$, значение $a = 1,25$ подходит. б) Дискриминант больше нуля ($D > 0 \implies a < 1,25$). Уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$. Ровно один из них должен быть неотрицательным: - Если корни имеют разные знаки ($t_1 < 0 < t_2$), то по теореме Виета их произведение отрицательно: $$ t_1 t_2 = a - 1 < 0 \implies a < 1 $$ При этом условие $D > 0$ выполняется автоматически, так как $a < 1 < 1,25$. - Если один из корней равен нулю ($t_1 = 0$), то свободный член $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$. Проверим это значение: при $a = 1$ уравнение принимает вид $t^2 - t = 0$, его корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Оба корня неотрицательны, а значит, исходное уравнение будет иметь два корня, что не удовлетворяет условию. Таким образом, первое уравнение имеет единственное решение при $a < 1$ и при $a = 1,25$. 2) Дано уравнение $\sqrt{x+a} = x + 3$. Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 3 \geqslant 0, \\ x + a = (x + 3)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -3, \\ x + a = x^2 + 6x + 9 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -3, \\ x^2 + 5x + 9 - a = 0 \end{cases} $$ Уравнение будет иметь единственное решение, если квадратное уравнение $x^2 + 5x + 9 - a = 0$ имеет ровно один корень на промежутке $[-3; +\infty)$. Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9 - a) = 25 - 36 + 4a = 4a - 11 $$ Рассмотрим возможные случаи: а) Дискриминант равен нулю ($D = 0$): $$ 4a - 11 = 0 \implies a = 2,75 $$ В этом случае квадратное уравнение имеет единственный корень: $$ x = -\frac{5}{2} = -2,5 $$ Проверим условие $x \geqslant -3$: число $-2,5 \geqslant -3$, следовательно, $a = 2,75$ подходит. б) Дискриминант больше нуля ($D > 0 \implies a > 2,75$). Квадратное уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + 5x + 9 - a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а абсцисса вершины равна: $$ x_0 = -\frac{5}{2} = -2,5 $$ Так как вершина параболы $x_0 = -2,5$ лежит правее граничной точки $-3$, оба корня могут удовлетворять условию $x \geqslant -3$ (если $f(-3) \geqslant 0$) или же точка $-3$ лежит строго между корнями ($x_1 < -3 < x_2$), если $f(-3) < 0$. Чтобы система имела единственное решение, меньший корень должен быть строго меньше $-3$, а больший — больше $-3$. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда: $$ f(-3) < 0 $$ Вычислим значение $f(-3)$: $$ (-3)^2 + 5 \cdot (-3) + 9 - a < 0 $$ $$ 9 - 15 + 9 - a < 0 $$ $$ 3 - a < 0 \implies a > 3 $$ Проверим граничный случай $a = 3$: при $a = 3$ уравнение принимает вид $x^2 + 5x + 6 = 0$, его корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $x \geqslant -3$, то есть уравнение имеет два решения, что не подходит. Таким образом, второе уравнение имеет единственное решение при $a = 2,75$ и при $a > 3$. Ответ: 1) при $a < 1$ и $a = 1,25$; 2) при $a = 2,75$ и $a > 3$.