ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 2

а) $|x - \sqrt{x} - 2| + |\sqrt{x} + 6 - x| = 8$ Область допустимых значений: $x \ge 0$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $$ |t^2 - t - 2| + |t + 6 - t^2| = 8 $$ Так как $|a| = |-a|$, то $|t + 6 - t^2| = |t^2 - t - 6|$. Уравнение принимает вид: $$ |t^2 - t - 2| + |t^2 - t - 6| = 8 $$ Сделаем еще одну замену: пусть $u = t^2 - t$. Получаем уравнение относительно $u$: $$ |u - 2| + |u - 6| = 8 $$ Решим полученное уравнение методом интервалов, определив нули подмодульных выражений: $u = 2$ и $u = 6$. 1. При $u < 2$: $$ -(u - 2) - (u - 6) = 8 $$ $$ -u + 2 - u + 6 = 8 $$ $$ -2u + 8 = 8 \implies u = 0 $$ Значение $u = 0$ удовлетворяет условию $u < 2$. 2. При $2 \le u < 6$: $$ (u - 2) - (u - 6) = 8 $$ $$ u - 2 - u + 6 = 8 \implies 4 = 8 $$ Равенство неверно, на данном промежутке решений нет. 3. При $u \ge 6$: $$ (u - 2) + (u - 6) = 8 $$ $$ 2u - 8 = 8 \implies 2u = 16 \implies u = 8 $$ Значение $u = 8$ удовлетворяет условию $u \ge 6$. Вернемся к переменной $t$: 1) При $u = 0$: $$ t^2 - t = 0 $$ $$ t(t - 1) = 0 \implies t_1 = 0,\quad t_2 = 1 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. * Если $t = 0$, то $\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$. * Если $t = 1$, то $\sqrt{x} = 1 \implies x_2 = 1$. 2) При $u = 8$: $$ t^2 - t = 8 $$ $$ t^2 - t - 8 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33 $$ $$ t = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$ Поскольку $t \ge 0$, корень $t = \frac{1 - \sqrt{33}}{2} < 0$ не подходит. Подходит только корень: $$ t = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $$ Тогда: $$ x = t^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{33}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{33} + 33}{4} = \frac{34 + 2\sqrt{33}}{4} = \frac{17 + \sqrt{33}}{2} $$ Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = \frac{17 + \sqrt{33}}{2}$. --- б) $|3\sqrt{x} + 2 - x| + |x - 3\sqrt{x} + 3| = 9$ Область допустимых значений: $x \ge 0$. Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $$ |3t + 2 - t^2| + |t^2 - 3t + 3| = 9 $$ Учитывая свойство $|-a| = |a|$, запишем первый модуль в виде $|t^2 - 3t - 2|$: $$ |t^2 - 3t - 2| + |t^2 - 3t + 3| = 9 $$ Пусть $u = t^2 - 3t$. Уравнение принимает вид: $$ |u - 2| + |u + 3| = 9 $$ Раскроем модули методом интервалов, нули подмодульных выражений: $u = -3$ и $u = 2$. 1. При $u < -3$: $$ -(u - 2) - (u + 3) = 9 $$ $$ -u + 2 - u - 3 = 9 $$ $$ -2u - 1 = 9 \implies -2u = 10 \implies u = -5 $$ Значение $u = -5$ удовлетворяет условию $u < -3$. 2. При $-3 \le u < 2$: $$ -(u - 2) + (u + 3) = 9 $$ $$ -u + 2 + u + 3 = 9 \implies 5 = 9 $$ Решений нет. 3. При $u \ge 2$: $$ (u - 2) + (u + 3) = 9 $$ $$ 2u + 1 = 9 \implies 2u = 8 \implies u = 4 $$ Значение $u = 4$ удовлетворяет условию $u \ge 2$. Вернемся к переменной $t$: 1) При $u = -5$: $$ t^2 - 3t = -5 \implies t^2 - 3t + 5 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0 $$ Действительных корней нет. 2) При $u = 4$: $$ t^2 - 3t = 4 \implies t^2 - 3t - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 4,\quad t_2 = -1 $$ Так как $t \ge 0$, корень $t = -1$ является посторонним. Остается $t = 4$. Тогда: $$ \sqrt{x} = 4 \implies x = 16 $$ Ответ: $x = 16$.