ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 18

1) Решим уравнение: $$ \sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3 $$ Иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \geq 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$ Составим и решим соответствующую систему: $$ \begin{cases} x - 3 \geq 0, \\ x^2 - 6x - a = (x - 3)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором уравнении системы: $$ x^2 - 6x - a = x^2 - 6x + 9 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -a = 9 \iff a = -9 $$ Таким образом, система принимает вид: $$ \begin{cases} x \geq 3, \\ a = -9 \end{cases} $$ Проанализируем полученный результат в зависимости от параметра $a$: - Если $a \neq -9$, то равенство $-a = 9$ не выполняется ни при каких значениях $x$, следовательно, уравнение не имеет решений. - Если $a = -9$, то равенство выполняется тождественно для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \geq 3$. Ответ к пункту 1: если $a \neq -9$, то решений нет; если $a = -9$, то $x \geq 3$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1 $$ Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 1 \geq 0, \\ x^2 + 2x + a = (x + 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором уравнении системы: $$ x^2 + 2x + a = x^2 + 2x + 1 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ a = 1 $$ Таким образом, получаем систему: $$ \begin{cases} x \geq -1, \\ a = 1 \end{cases} $$ Исследуем решения в зависимости от значения параметра $a$: - Если $a \neq 1$, то равенство $a = 1$ является ложным, следовательно, уравнение не имеет решений. - Если $a = 1$, то равенство выполняется тождественно при всех $x$, удовлетворяющих условию $x \geq -1$. Ответ к пункту 2: если $a \neq 1$, то решений нет; если $a = 1$, то $x \geq -1$.