ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 17

**1)** Решим неравенство $(x - a)\sqrt{x - 2} \geqslant 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $$ x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2 $$ Произведение двух множителей больше или равно нулю. Так как арифметический квадратный корень неотрицателен при всех допустимых значениях $x$, возможны два случая: корень равен нулю или строго положителен. 1. Если $\sqrt{x - 2} = 0$, то есть $x = 2$: $(2 - a) \cdot 0 \geqslant 0 \iff 0 \geqslant 0$ — верное числовое равенство при любом значении $a$. Значит, значение $x = 2$ является решением при любом $a$. 2. Если $\sqrt{x - 2} > 0$, то есть $x > 2$: Разделим обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x - 2}$: $$ x - a \geqslant 0 \iff x \geqslant a $$ С учетом условия $x > 2$ получаем систему: $$ \begin{cases} x > 2, \\ x \geqslant a \end{cases} $$ Рассмотрим взаимное расположение $a$ и числа $2$: * Если $a < 2$, то система принимает вид $x > 2$. Объединяя с решением $x = 2$, получаем промежуток $x \geqslant 2$. * Если $a = 2$, то система принимает вид $x > 2$. Объединяя с точкой $x = 2$, получаем $x \geqslant 2$. (Таким образом, при $a \leqslant 2$ решением является $x \geqslant 2$). * Если $a > 2$, то решением системы является $x \geqslant a$. Объединяя с изолированной точкой $x = 2$, получаем $x = 2$ и $x \geqslant a$. **Ответ к пункту 1:** если $a \leqslant 2$, то $x \geqslant 2$; если $a > 2$, то $x = 2$, $x \geqslant a$. --- **2)** Решим неравенство $(5 - x)\sqrt{x - a} \leqslant 0$. ОДЗ неравенства: $$ x - a \geqslant 0 \iff x \geqslant a $$ Так как $\sqrt{x - a} \geqslant 0$ при всех допустимых $x$, рассмотрим два случая: 1. Если $\sqrt{x - a} = 0$, то есть $x = a$: $(5 - a) \cdot 0 \leqslant 0 \iff 0 \leqslant 0$ — верно при любом значении $a$. Значит, $x = a$ всегда является решением неравенства. 2. Если $\sqrt{x - a} > 0$, то есть $x > a$: Разделим обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x - a}$: $$ 5 - x \leqslant 0 \iff x \geqslant 5 $$ С учетом условия $x > a$ получаем систему: $$ \begin{cases} x > a, \\ x \geqslant 5 \end{cases} $$ Рассмотрим взаимное расположение $a$ и числа $5$: * Если $a < 5$, то решением системы является $x \geqslant 5$. Объединяя с точкой $x = a$, получаем $x = a$ и $x \geqslant 5$. * Если $a = 5$, то система дает $x > 5$. Объединяя с точкой $x = 5$, получаем $x \geqslant 5$. * Если $a > 5$, то решением системы является $x > a$. Объединяя с точкой $x = a$, получаем $x \geqslant a$. (Таким образом, при $a \geqslant 5$ решением является $x \geqslant a$). **Ответ к пункту 2:** если $a < 5$, то $x = a$, $x \geqslant 5$; если $a \geqslant 5$, то $x \geqslant a$.