ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 4

4. а) $5\sqrt{1 + |x^2 - 1|} = 3 + |5x + 3|$ Раскроем знак внутреннего модуля под корнем, рассмотрев два случая: $x^2 - 1 \geq 0$ и $x^2 - 1 < 0$. 1. Пусть $x^2 - 1 \geq 0$, то есть $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Тогда $|x^2 - 1| = x^2 - 1$, и подкоренное выражение принимает вид: $1 + |x^2 - 1| = 1 + x^2 - 1 = x^2$. Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, исходное уравнение упрощается: $$ 5|x| = 3 + |5x + 3| $$ Рассмотрим промежутки из условия $x \leq -1$ или $x \geq 1$: * При $x \leq -1$: $|x| = -x$, а выражение $5x + 3 \leq 5 \cdot (-1) + 3 = -2 < 0$, следовательно, $|5x + 3| = -(5x + 3) = -5x - 3$. Подставим эти значения в уравнение: $$ -5x = 3 + (-5x - 3) $$ $$ -5x = -5x $$ Получили тождество $0 = 0$, которое верно при всех $x$. Значит, весь луч $x \leq -1$ является решением. * При $x \geq 1$: $|x| = x$, а $5x + 3 > 0$, откуда $|5x + 3| = 5x + 3$. Уравнение принимает вид: $$ 5x = 3 + 5x + 3 $$ $$ 0 = 6 $$ Равенство неверно, поэтому на промежутке $[1; +\infty)$ корней нет. 2. Пусть $x^2 - 1 < 0$, то есть $x \in (-1; 1)$. Тогда $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$, и подкоренное выражение равно: $1 + 1 - x^2 = 2 - x^2$. Уравнение принимает вид: $$ 5\sqrt{2 - x^2} = 3 + |5x + 3| $$ Корень подмодульного выражения: $5x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{5}$. Разобьем интервал $(-1; 1)$ точкой $-\frac{3}{5}$: * Если $x \in \left(-1; -\frac{3}{5}\right)$, то $5x + 3 < 0$, следовательно, $|5x + 3| = -5x - 3$: $$ 5\sqrt{2 - x^2} = 3 - 5x - 3 $$ $$ 5\sqrt{2 - x^2} = -5x $$ Разделим обе части на $5$: $$ \sqrt{2 - x^2} = -x $$ Так как $x \in \left(-1; -\frac{3}{5}\right)$, обе части уравнения положительны. Возведем обе части в квадрат: $$ 2 - x^2 = x^2 $$ $$ 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Ни одно из значений $x = -1$ и $x = 1$ не принадлежит интервалу $\left(-1; -\frac{3}{5}\right)$. На этом промежутке решений нет. * Если $x \in \left[-\frac{3}{5}; 1\right)$, то $5x + 3 \geq 0$, следовательно, $|5x + 3| = 5x + 3$: $$ 5\sqrt{2 - x^2} = 3 + 5x + 3 $$ $$ 5\sqrt{2 - x^2} = 5x + 6 $$ Так как при $x \geq -\frac{3}{5}$ правая часть $5x + 6 \geq 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + 6 = 3 > 0$, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 25(2 - x^2) = (5x + 6)^2 $$ $$ 50 - 25x^2 = 25x^2 + 60x + 36 $$ $$ 50x^2 + 60x - 14 = 0 $$ Разделим на $2$: $$ 25x^2 + 30x - 7 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D_1 = 15^2 - 25 \cdot (-7) = 225 + 175 = 400 = 20^2 $$ $$ x = \frac{-15 \pm 20}{25} $$ $$ x_1 = \frac{-15 + 20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $$ $$ x_2 = \frac{-15 - 20}{25} = -\frac{35}{25} = -\frac{7}{5} = -1{,}4 $$ Проверим принадлежность корней промежутку $\left[-\frac{3}{5}; 1\right)$: Число $x_1 = \frac{1}{5} = 0{,}2$ входит в промежуток $[-0{,}6; 1)$. Число $x_2 = -1{,}4$ не входит в промежуток $[-0{,}6; 1)$. Объединяя найденные решения, получаем: $x \leq -1$, $x = \frac{1}{5}$. Ответ: $x = \frac{1}{5}$, $x \leq -1$. --- б) $\sqrt{25 + |16x^2 - 25|} = 4 + 4|1 - x|$ Раскроем знак внутреннего модуля, рассмотрев два случая: $16x^2 - 25 \geq 0$ и $16x^2 - 25 < 0$. 1. Пусть $16x^2 - 25 \geq 0$, то есть $x^2 \geq \frac{25}{16}$, откуда $x \in \left(-\infty; -\frac{5}{4}\right] \cup \left[\frac{5}{4}; +\infty\right)$. Тогда $|16x^2 - 25| = 16x^2 - 25$, и подкоренное выражение равно: $25 + 16x^2 - 25 = 16x^2$. Так как $\sqrt{16x^2} = 4|x|$, уравнение принимает вид: $$ 4|x| = 4 + 4|1 - x| $$ Разделим обе части на $4$: $$ |x| = 1 + |1 - x| $$ * При $x \geq \frac{5}{4}$: Имеем $|x| = x$ и $1 - x \leq 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} < 0$, поэтому $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$. Уравнение принимает вид: $$ x = 1 + (x - 1) $$ $$ x = x $$ Получили верное числовое равенство при любом $x$. Следовательно, все значения $x \geq \frac{5}{4}$ являются решениями. * При $x \leq -\frac{5}{4}$: Имеем $|x| = -x$ и $1 - x > 0$, откуда $|1 - x| = 1 - x$. Уравнение принимает вид: $$ -x = 1 + (1 - x) $$ $$ -x = 2 - x $$ $$ 0 = 2 $$ Равенство ложно, решений на этом промежутке нет. 2. Пусть $16x^2 - 25 < 0$, то есть $x \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{5}{4}\right)$. Тогда $|16x^2 - 25| = 25 - 16x^2$, и подкоренное выражение равно: $25 + 25 - 16x^2 = 50 - 16x^2$. Уравнение принимает вид: $$ \sqrt{50 - 16x^2} = 4 + 4|1 - x| $$ Модуль $|1 - x|$ меняет знак в точке $x = 1 \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{5}{4}\right)$: * Если $x \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$, то $1 - x \leq 0$, поэтому $|1 - x| = x - 1$: $$ \sqrt{50 - 16x^2} = 4 + 4(x - 1) $$ $$ \sqrt{50 - 16x^2} = 4x $$ Так как $x \geq 1$, правая часть положительна. Возведем в квадрат: $$ 50 - 16x^2 = 16x^2 $$ $$ 32x^2 = 50 \implies x^2 = \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \implies x = \pm \frac{5}{4} $$ Ни одно из этих значений не принадлежит полуинтервалу $\left[1; \frac{5}{4}\right)$. * Если $x \in \left(-\frac{5}{4}; 1\right)$, то $1 - x > 0$, поэтому $|1 - x| = 1 - x$: $$ \sqrt{50 - 16x^2} = 4 + 4(1 - x) $$ $$ \sqrt{50 - 16x^2} = 8 - 4x $$ Так как $x < 1$, правая часть $8 - 4x > 4 > 0$. Возведем обе части в квадрат: $$ 50 - 16x^2 = (8 - 4x)^2 $$ $$ 50 - 16x^2 = 64 - 64x + 16x^2 $$ $$ 32x^2 - 64x + 14 = 0 $$ Разделим на $2$: $$ 16x^2 - 32x + 7 = 0 $$ Найдем корни: $$ D_1 = (-16)^2 - 16 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^2 $$ $$ x = \frac{16 \pm 12}{16} $$ $$ x_1 = \frac{16 - 12}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$ $$ x_2 = \frac{16 + 12}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1{,}75 $$ Проверим условие $x \in \left(-\frac{5}{4}; 1\right)$: Число $x_1 = \frac{1}{4} = 0{,}25$ лежит в интервале $(-1{,}25; 1)$. Число $x_2 = 1{,}75$ не принадлежит интервалу $(-1{,}25; 1)$. Объединяя все найденные решения, получаем: $x = \frac{1}{4}$, $x \geq \frac{5}{4}$. Ответ: $x = \frac{1}{4}$, $x \geq \frac{5}{4}$.