ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 9

1) Решим уравнение: $$ \sqrt{|2x+1|} = 1 - 2|x| $$ Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $$ 1 - 2|x| \ge 0 \iff |x| \le \frac{1}{2} \iff -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} $$ Для любого $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$ выражение $2x + 1 \ge 0$, поэтому $|2x+1| = 2x+1$. Уравнение принимает вид: $$ \sqrt{2x+1} = 1 - 2|x| $$ Раскроем оставшийся модуль, рассмотрев два случая на отрезке $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$: **Случай 1:** $-\frac{1}{2} \le x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение записывается как: $$ \sqrt{2x+1} = 1 - 2(-x) $$ $$ \sqrt{2x+1} = 2x+1 $$ Пусть $t = \sqrt{2x+1} \ge 0$. Тогда $2x+1 = t^2$, и уравнение принимает вид: $$ t = t^2 \iff t^2 - t = 0 \iff t(t - 1) = 0 $$ Отсюда: * $t = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -0{,}5$ — входит в рассматриваемый промежуток $\left[-\frac{1}{2}; 0\right)$. * $t = 1 \implies 2x + 1 = 1 \implies x = 0$ — не входит в рассматриваемый промежуток $\left[-\frac{1}{2}; 0\right)$. **Случай 2:** $0 \le x \le \frac{1}{2}$. Тогда $|x| = x$, и уравнение записывается как: $$ \sqrt{2x+1} = 1 - 2x $$ Так как обе части неотрицательны при $x \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$, возведем обе части в квадрат: $$ 2x + 1 = (1 - 2x)^2 $$ $$ 2x + 1 = 1 - 4x + 4x^2 $$ $$ 4x^2 - 6x = 0 $$ $$ 2x(2x - 3) = 0 $$ Отсюда: * $x = 0$ — входит в рассматриваемый промежуток $\left[0; \frac{1}{2}\right]$. * $2x - 3 = 0 \implies x = 1{,}5$ — не входит в рассматриваемый промежуток $\left[0; \frac{1}{2}\right]$. Объединяя найденные решения, получаем: $x_1 = -0{,}5$, $x_2 = 0$. Ответ: $x_1 = -0{,}5$, $x_2 = 0$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sqrt{|1-3x|} = 1 - 3|x| $$ Так как левая часть неотрицательна, правая часть также должна удовлетворять условию: $$ 1 - 3|x| \ge 0 \iff |x| \le \frac{1}{3} \iff -\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3} $$ Для любого $x \in \left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$ выражение $1 - 3x \ge 0$, поэтому $|1-3x| = 1-3x$. Уравнение принимает вид: $$ \sqrt{1-3x} = 1 - 3|x| $$ Раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая на отрезке $\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$: **Случай 1:** $-\frac{1}{3} \le x \le 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $$ \sqrt{1-3x} = 1 - 3(-x) $$ $$ \sqrt{1-3x} = 1 + 3x $$ При $x \in \left[-\frac{1}{3}; 0\right]$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат: $$ 1 - 3x = (1 + 3x)^2 $$ $$ 1 - 3x = 1 + 6x + 9x^2 $$ $$ 9x^2 + 9x = 0 $$ $$ 9x(x + 1) = 0 $$ Отсюда: * $x = 0$ — входит в промежуток $\left[-\frac{1}{3}; 0\right]$. * $x = -1$ — не входит в промежуток $\left[-\frac{1}{3}; 0\right]$. **Случай 2:** $0 < x \le \frac{1}{3}$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $$ \sqrt{1-3x} = 1 - 3x $$ Пусть $u = \sqrt{1-3x} \ge 0$. Тогда $1-3x = u^2$, и уравнение принимает вид: $$ u = u^2 \iff u^2 - u = 0 \iff u(u - 1) = 0 $$ Отсюда: * $u = 0 \implies 1 - 3x = 0 \implies x = \frac{1}{3}$ — входит в промежуток $\left(0; \frac{1}{3}\right]$. * $u = 1 \implies 1 - 3x = 1 \implies x = 0$ — не входит в промежуток $\left(0; \frac{1}{3}\right]$. Объединяя найденные решения, получаем: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{3}$. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{3}$.