ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 10

1) Решим уравнение: $$\sqrt{x^2 + 4x} = \sqrt{5|x + 2| + 2}$$ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении левой части: $$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x + 2)^2 - 4$$ Так как $(x + 2)^2 = |x + 2|^2$, выполним замену переменной: пусть $t = |x + 2|$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$\sqrt{t^2 - 4} = \sqrt{5t + 2}$$ Уравнение вида $\sqrt{f(t)} = \sqrt{g(t)}$ равносильно системе: $$\begin{cases} t^2 - 4 = 5t + 2 \\ 5t + 2 \ge 0 \end{cases}$$ Так как $t \ge 0$, условие $5t + 2 \ge 0$ выполняется автоматически. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$t^2 - 4 = 5t + 2$$ $$t^2 - 5t - 6 = 0$$ По теореме Виета найдём корни квадратного уравнения: $$t_1 = 6, \quad t_2 = -1$$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -1$ не подходит. Возвращаемся к замене для $t = 6$: $$|x + 2| = 6$$ Получаем два случая: 1. $x + 2 = 6 \implies x = 4$ 2. $x + 2 = -6 \implies x = -8$ Проверим найденные значения: - При $x = 4$: $\sqrt{4^2 + 4 \cdot 4} = \sqrt{32}$ и $\sqrt{5|4 + 2| + 2} = \sqrt{30 + 2} = \sqrt{32}$ — верно. - При $x = -8$: $\sqrt{(-8)^2 + 4(-8)} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32}$ и $\sqrt{5|-8 + 2| + 2} = \sqrt{30 + 2} = \sqrt{32}$ — верно. Ответ: $x_1 = -8$, $x_2 = 4$. --- 2) Решим уравнение: $$\sqrt{x^2 - 6x} = \sqrt{10|x - 3| + 2}$$ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении левой части: $$x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$$ Так как $(x - 3)^2 = |x - 3|^2$, введём замену переменной: пусть $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $$\sqrt{t^2 - 9} = \sqrt{10t + 2}$$ Обе части уравнения неотрицательны, при $t \ge 0$ выражение $10t + 2 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$t^2 - 9 = 10t + 2$$ $$t^2 - 10t - 11 = 0$$ По теореме Виета корни: $$t_1 = 11, \quad t_2 = -1$$ Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 11$. Возвращаемся к замене: $$|x - 3| = 11$$ Отсюда: 1. $x - 3 = 11 \implies x = 14$ 2. $x - 3 = -11 \implies x = -8$ Проверим найденные значения: - При $x = 14$: $\sqrt{14^2 - 6 \cdot 14} = \sqrt{196 - 84} = \sqrt{112}$ и $\sqrt{10|14 - 3| + 2} = \sqrt{110 + 2} = \sqrt{112}$ — верно. - При $x = -8$: $\sqrt{(-8)^2 - 6(-8)} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112}$ и $\sqrt{10|-8 - 3| + 2} = \sqrt{110 + 2} = \sqrt{112}$ — верно. Ответ: $x_1 = -8$, $x_2 = 14$.