ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 11

1) Решим неравенство: $$ (x - 5)\sqrt{x} \leqslant 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $$ x \geqslant 0 $$ Поскольку арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения ($\sqrt{x} \geqslant 0$), рассмотрим два возможных случая: 1. $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. При $x = 0$ неравенство принимает вид: $$ (0 - 5) \cdot 0 \leqslant 0 \implies 0 \leqslant 0 $$ Неравенство выполняется, следовательно, $x = 0$ является решением. 2. $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$. Разделим обе части исходного неравенства на строго положительную величину $\sqrt{x}$: $$ x - 5 \leqslant 0 \implies x \leqslant 5 $$ С учётом условия $x > 0$ получаем интервал: $$ 0 < x \leqslant 5 $$ Объединяя результаты обоих случаев ($x = 0$ и $0 < x \leqslant 5$), получаем: $$ 0 \leqslant x \leqslant 5 $$ Ответ: $0 \leqslant x \leqslant 5$ (или $x \in [0; 5]$). --- 2) Решим неравенство: $$ x\sqrt{x + 1} \leqslant 0 $$ Найдём ОДЗ неравенства: $$ x + 1 \geqslant 0 \implies x \geqslant -1 $$ Так как $\sqrt{x + 1} \geqslant 0$ при всех допустимых значениях $x$, рассмотрим два случая: 1. $\sqrt{x + 1} = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$. При $x = -1$ левая часть равна нулю: $$ -1 \cdot 0 \leqslant 0 \implies 0 \leqslant 0 $$ Неравенство верно, значит, $x = -1$ входит в решение. 2. $\sqrt{x + 1} > 0 \implies x > -1$. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x + 1}$: $$ x \leqslant 0 $$ С учётом условия $x > -1$ получаем промежуток: $$ -1 < x \leqslant 0 $$ Объединяя полученные результаты ($x = -1$ и $-1 < x \leqslant 0$), находим общее решение: $$ -1 \leqslant x \leqslant 0 $$ Ответ: $-1 \leqslant x \leqslant 0$ (или $x \in [-1; 0]$).