ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 6

1) Решим неравенство: $$ x^2 + 25 \geq 8\sqrt{5 - x} + 10x $$ Перенесём слагаемое $10x$ в левую часть неравенства: $$ x^2 - 10x + 25 \geq 8\sqrt{5 - x} $$ Выделим полный квадрат в левой части: $$ (x - 5)^2 \geq 8\sqrt{5 - x} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 5 - x \geq 0 \iff x \leq 5 $$ Введём замену переменной: пусть $t = \sqrt{5 - x}$, где $t \geq 0$. Тогда $t^2 = 5 - x$, откуда $x - 5 = -t^2$. Значит: $$ (x - 5)^2 = (-t^2)^2 = t^4 $$ Подставим $t$ в неравенство: $$ t^4 \geq 8t $$ $$ t^4 - 8t \geq 0 $$ $$ t(t^3 - 8) \geq 0 $$ Так как $t \geq 0$, произведение $t(t^3 - 8) \geq 0$ возможно в двух случаях: 1. $t = 0$; 2. $t^3 - 8 \geq 0 \iff t^3 \geq 8 \iff t \geq 2$. Вернемся к исходной переменной $x$: 1. При $t = 0$: $$ \sqrt{5 - x} = 0 \iff 5 - x = 0 \iff x = 5 $$ 2. При $t \geq 2$: $$ \sqrt{5 - x} \geq 2 $$ Обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат: $$ 5 - x \geq 4 \iff -x \geq -1 \iff x \leq 1 $$ Оба полученных случая удовлетворяют ОДЗ ($x \leq 5$). Ответ к пункту 1: $x \leq 1$, $x = 5$. --- 2) Решим неравенство: $$ 27\sqrt{4 - x} - 16 \leq x^2 - 8x $$ Перенесем число $-16$ в правую часть: $$ 27\sqrt{4 - x} \leq x^2 - 8x + 16 $$ Запишем правую часть в виде квадрата разности: $$ (x - 4)^2 \geq 27\sqrt{4 - x} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ 4 - x \geq 0 \iff x \leq 4 $$ Введём замену переменной: пусть $u = \sqrt{4 - x}$, где $u \geq 0$. Тогда $u^2 = 4 - x$, откуда $x - 4 = -u^2$. Значит: $$ (x - 4)^2 = (-u^2)^2 = u^4 $$ Подставим $u$ в неравенство: $$ u^4 \geq 27u $$ $$ u^4 - 27u \geq 0 $$ $$ u(u^3 - 27) \geq 0 $$ Так как $u \geq 0$, неравенство распадается на два случая: 1. $u = 0$; 2. $u^3 - 27 \geq 0 \iff u^3 \geq 27 \iff u \geq 3$. Вернемся к переменной $x$: 1. При $u = 0$: $$ \sqrt{4 - x} = 0 \iff 4 - x = 0 \iff x = 4 $$ 2. При $u \geq 3$: $$ \sqrt{4 - x} \geq 3 $$ Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $$ 4 - x \geq 9 \iff -x \geq 5 \iff x \leq -5 $$ Оба результата входят в ОДЗ ($x \leq 4$). Ответ к пункту 2: $x \leq -5$, $x = 4$. --- Ответ: 1) $x \leq 1$, $x = 5$; 2) $x \leq -5$, $x = 4$.