ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 8

8. Перепишем неравенство в виде: $$ \sqrt{16 + 30x - 25x^2} > 4 - 5x $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > g^2(x). \end{cases} \end{aligned} \right. $$ **1. Решим первую систему:** $$ \begin{cases} 4 - 5x < 0, \\ 16 + 30x - 25x^2 \ge 0 \end{cases} $$ Из первого неравенства: $$ -5x < -4 \iff x > 0,8 $$ Решим второе неравенство: $$ 25x^2 - 30x - 16 \le 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $25x^2 - 30x - 16 = 0$: $$ D = (-30)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-16) = 900 + 1600 = 2500 = 50^2 $$ $$ x_1 = \frac{30 - 50}{2 \cdot 25} = \frac{-20}{50} = -0,4 $$ $$ x_2 = \frac{30 + 50}{2 \cdot 25} = \frac{80}{50} = 1,6 $$ Решением квадратного неравенства является отрезок: $$ -0,4 \le x \le 1,6 $$ Пересекая с условием $x > 0,8$, получаем решение первой системы: $$ 0,8 < x \le 1,6 $$ **2. Решим вторую систему:** $$ \begin{cases} 4 - 5x \ge 0, \\ 16 + 30x - 25x^2 > (4 - 5x)^2 \end{cases} $$ Из первого неравенства: $$ -5x \ge -4 \iff x \le 0,8 $$ Преобразуем второе неравенство: $$ 16 + 30x - 25x^2 > 16 - 40x + 25x^2 $$ $$ 50x^2 - 70x < 0 $$ $$ 10x(5x - 7) < 0 $$ Корни уравнения $10x(5x - 7) = 0$: $x = 0$ и $x = 1,4$. Решением строгого неравенства методом интервалов является интервал: $$ 0 < x < 1,4 $$ Пересекая с условием $x \le 0,8$, получаем решение второй системы: $$ 0 < x \le 0,8 $$ **3. Объединим решения обеих систем:** $$ x \in (0; 0,8] \cup (0,8; 1,6] \iff 0 < x \le 1,6 $$ Ответ: $0 < x \leqslant 1,6$.