ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 12

1) Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 4x + 6}{x - 2} \le -2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — не равен нулю: $$ \begin{cases} x^2 + 5x \ge 0 \\ x - 2 \ne 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x(x + 5) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$. Из второго условия: $x \ne 2$. Таким образом, ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -5] \cup [0; 2) \cup (2; +\infty) $$ **2. Преобразование неравенства:** Перенесём число $-2$ в левую часть и приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 4x + 6}{x - 2} + 2 \le 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 4x + 6 + 2(x - 2)}{x - 2} \le 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 4x + 6 + 2x - 4}{x - 2} \le 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x} - 2x + 2}{x - 2} \le 0 $$ **3. Решение неравенства на промежутках ОДЗ:** Знак дроби зависит от знака знаменателя $(x - 2)$. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$. С учётом ОДЗ: $x \in (-\infty; -5] \cup [0; 2)$. Так как знаменатель отрицателен, умножим обе части неравенства на $(x - 2)$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \sqrt{x^2 + 5x} - 2x + 2 \ge 0 \iff \sqrt{x^2 + 5x} \ge 2x - 2 $$ - При $x \le 1$ выражение $2x - 2 \le 0$. Поскольку арифметический квадратный корень неотрицателен ($\sqrt{x^2 + 5x} \ge 0$), неравенство выполняется при всех $x$ из ОДЗ: $x \in (-\infty; -5] \cup [0; 1]$. - При $1 < x < 2$ обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ x^2 + 5x \ge (2x - 2)^2 $$ $$ x^2 + 5x \ge 4x^2 - 8x + 4 $$ $$ 3x^2 - 13x + 4 \le 0 $$ Корни уравнения $3x^2 - 13x + 4 = 0$: $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{13 + 11}{6} = 4 $$ Решением квадратного неравенства является отрезок $\left[\frac{1}{3}; 4\right]$. Пересекая с условием $1 < x < 2$, получаем интервал $(1; 2)$. Объединяя найденные промежутки случая 1, получаем: $$ x \in (-\infty; -5] \cup [0; 2) $$ **Случай 2:** $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Знаменатель положителен, умножим обе части неравенства на $(x - 2)$ (знак сохраняется): $$ \sqrt{x^2 + 5x} - 2x + 2 \le 0 \iff \sqrt{x^2 + 5x} \le 2x - 2 $$ При $x > 2$ правая часть $2x - 2 > 2 > 0$. Обе части неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ x^2 + 5x \le (2x - 2)^2 $$ $$ 3x^2 - 13x + 4 \ge 0 $$ Решение этого квадратного неравенства: $$ x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right] \cup [4; +\infty) $$ С учётом условия $x > 2$ получаем: $$ x \in [4; +\infty) $$ **Итог пункта 1:** объединяя результаты двух случаев, получаем решение исходного неравенства: $$ x \le -5, \quad 0 \le x < 2, \quad x \ge 4 $$ --- 2) Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{x^2 - 5x} - 4x + 26}{7 - x} > 2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} x^2 - 5x \ge 0 \\ 7 - x \ne 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x(x - 5) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$. Из второго условия: $x \ne 7$. ОДЗ: $$ x \in (-\infty; 0] \cup [5; 7) \cup (7; +\infty) $$ **2. Преобразование неравенства:** Перенесём число $2$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{x^2 - 5x} - 4x + 26}{7 - x} - 2 > 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 - 5x} - 4x + 26 - 2(7 - x)}{7 - x} > 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 - 5x} - 4x + 26 - 14 + 2x}{7 - x} > 0 $$ $$ \frac{\sqrt{x^2 - 5x} - 2x + 12}{7 - x} > 0 $$ **3. Решение неравенства на промежутках ОДЗ:** **Случай 1:** $7 - x > 0$, то есть $x < 7$. С учётом ОДЗ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 7)$. Знаменатель положителен, умножим обе части на $(7 - x)$: $$ \sqrt{x^2 - 5x} - 2x + 12 > 0 \iff \sqrt{x^2 - 5x} > 2x - 12 $$ - При $x \le 6$ выражение $2x - 12 \le 0$. Так как арифметический корень неотрицателен, а равенство $\sqrt{x^2 - 5x} = 2x - 12 = 0$ невозможно (корень равен нулю при $x = 0$ и $x = 5$, а $2x - 12 = 0$ при $x = 6$), неравенство $\sqrt{x^2 - 5x} > 2x - 12$ верно при всех допустимых $x \le 6$, то есть для $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 6]$. - При $6 < x < 7$ обе части строго положительны, возведём их в квадрат: $$ x^2 - 5x > (2x - 12)^2 $$ $$ x^2 - 5x > 4x^2 - 48x + 144 $$ $$ 3x^2 - 43x + 144 < 0 $$ Найдём корни уравнения $3x^2 - 43x + 144 = 0$: $$ D = (-43)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 144 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{43 - 11}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{43 + 11}{6} = 9 $$ Решение неравенства: $x \in \left(\frac{16}{3}; 9\right)$. Пересекая с условием $6 < x < 7$, получаем весь интервал $(6; 7)$. Объединяя найденные значения случая 1, получаем: $$ x \in (-\infty; 0] \cup [5; 7) $$ **Случай 2:** $7 - x < 0$, то есть $x > 7$. Знаменатель отрицателен, умножим обе части неравенства на $(7 - x)$, изменив знак: $$ \sqrt{x^2 - 5x} - 2x + 12 < 0 \iff \sqrt{x^2 - 5x} < 2x - 12 $$ При $x > 7$ выражение $2x - 12 > 2 > 0$. Обе части положительны, возведём в квадрат: $$ x^2 - 5x < (2x - 12)^2 $$ $$ 3x^2 - 43x + 144 > 0 $$ Решением этого неравенства являются промежутки: $$ x \in \left(-\infty; \frac{16}{3}\right) \cup (9; +\infty) $$ Пересекая с условием $x > 7$, получаем: $$ x \in (9; +\infty) $$ **Итог пункта 2:** объединяя решения обоих случаев, получаем: $$ x \le 0, \quad 5 \le x < 7, \quad x > 9 $$ --- Ответ: 1) $x \le -5, \quad 0 \le x < 2, \quad x \ge 4$; 2) $x \le 0, \quad 5 \le x < 7, \quad x > 9$.