ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 5

1) Найти область определения функции: $$ y = \sqrt{4 - \frac{9}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}} $$ Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и отличия знаменателей дробей от нуля: $$ 4 - \frac{9}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \ge 0 $$ Приведем дроби в левой части неравенства к общему знаменателю $(x + 1)(x - 3)$: $$ \frac{4(x + 1)(x - 3) - 9(x - 3) + 1(x + 1)}{(x + 1)(x - 3)} \ge 0 $$ Преобразуем числитель: $$ 4(x^2 - 2x - 3) - 9x + 27 + x + 1 = 4x^2 - 8x - 12 - 8x + 28 = 4x^2 - 16x + 16 $$ Вынесем общий множитель $4$ и свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ 4(x^2 - 4x + 4) = 4(x - 2)^2 $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{4(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 3)} \ge 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: - Числитель равен нулю при $x = 2$. При этом значении знаменатель равен $(2 + 1)(2 - 3) = -3 \ne 0$, значит, точка $x = 2$ удовлетворяет неравенству. - Знаменатель обращается в нуль при $x = -1$ и $x = 3$. Эти точки выколотые: $x \ne -1$, $x \ne 3$. - Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, при $x \ne 2$ знак дроби определяется знаком знаменателя: $$ (x + 1)(x - 3) > 0 $$ Решением строгого неравенства являются промежутки $x < -1$ и $x > 3$. Объединяя найденные решения с точкой $x = 2$, получаем: $$ x < -1, \quad x > 3, \quad x = 2 $$ или в виде числовых промежутков: $x \in (-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (3; +\infty)$. Ответ: $x < -1$, $x > 3$, $x = 2$. --- 2) Найти область определения функции: $$ y = \sqrt{2 - \frac{1}{x + 6} + \frac{9}{x - 2}} $$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 2 - \frac{1}{x + 6} + \frac{9}{x - 2} \ge 0 $$ Приведем выражение к общему знаменателю $(x + 6)(x - 2)$: $$ \frac{2(x + 6)(x - 2) - 1(x - 2) + 9(x + 6)}{(x + 6)(x - 2)} \ge 0 $$ Преобразуем числитель: $$ 2(x^2 + 4x - 12) - x + 2 + 9x + 54 = 2x^2 + 8x - 24 + 8x + 56 = 2x^2 + 16x + 32 $$ Вынесем множитель $2$ и применим формулу квадрата суммы: $$ 2(x^2 + 8x + 16) = 2(x + 4)^2 $$ Получаем неравенство: $$ \frac{2(x + 4)^2}{(x + 6)(x - 2)} \ge 0 $$ Решим его методом интервалов: - Числитель равен нулю при $x = -4$. Знаменатель в этой точке равен $(-4 + 6)(-4 - 2) = 2 \cdot (-6) = -12 \ne 0$, следовательно, точка $x = -4$ входит в область определения. - Знаменатель обращается в нуль при $x = -6$ и $x = 2$. Эти точки исключаются: $x \ne -6$, $x \ne 2$. - При $x \ne -4$ множитель $(x + 4)^2 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя: $$ (x + 6)(x - 2) > 0 $$ Это неравенство выполняется при $x < -6$ и при $x > 2$. Объединяя полученные промежутки и изолированную точку $x = -4$, находим область определения: $$ x < -6, \quad x > 2, \quad x = -4 $$ или в виде числовых промежутков: $x \in (-\infty; -6) \cup \{-4\} \cup (2; +\infty)$. Ответ: $x < -6$, $x > 2$, $x = -4$.