ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 3

1) Решим уравнение: $$ \sqrt{x(x-2)(x+3)} = 3 - x $$ По определению арифметического квадратного корня левая часть уравнения неотрицательна, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной. При этом условии возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным переходом: $$ \begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ x(x-2)(x+3) = (3 - x)^2 \end{cases} $$ Преобразуем неравенство системы: $x \le 3$. Преобразуем уравнение системы, раскрыв скобки в обеих частях: $$ x(x^2 + x - 6) = 9 - 6x + x^2 $$ $$ x^3 + x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 $$ Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения: $$ x^3 + x^2 - x^2 - 6x + 6x = 9 $$ $$ x^3 = 9 $$ $$ x = \sqrt[3]{9} $$ Проверим выполнение условия $x \le 3$: так как $1 < 9 < 27$, то $1 < \sqrt[3]{9} < 3$, следовательно, условие $\sqrt[3]{9} \le 3$ выполняется. Ответ: $x = \sqrt[3]{9}$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sqrt{x(x-3)(x+4)} = 6 - x $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 6 - x \ge 0, \\ x(x-3)(x+4) = (6 - x)^2 \end{cases} $$ Преобразуем неравенство системы: $x \le 6$. Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения: $$ x(x^2 + x - 12) = 36 - 12x + x^2 $$ $$ x^3 + x^2 - 12x = x^2 - 12x + 36 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ x^3 + x^2 - x^2 - 12x + 12x = 36 $$ $$ x^3 = 36 $$ $$ x = \sqrt[3]{36} $$ Проверим выполнение условия $x \le 6$: так как $27 < 36 < 216$, то $3 < \sqrt[3]{36} < 6$, следовательно, условие $\sqrt[3]{36} \le 6$ выполняется. Ответ: $x = \sqrt[3]{36}$.