ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 2

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{25 - 10x + x^2} + y = 4, \\ y - 3x + 11 = 0. \end{cases} $$ Преобразуем подкоренное выражение в первом уравнении, применив формулу квадрата разности: $25 - 10x + x^2 = (5 - x)^2 = (x - 5)^2$. Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, запишем первое уравнение в виде: $$ |x - 5| + y = 4. $$ Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $$ y = 3x - 11. $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$ |x - 5| + 3x - 11 = 4, $$ $$ |x - 5| = 15 - 3x. $$ Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна удовлетворять условию: $15 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 15 \implies x \le 5$. При условии $x \le 5$ выражение под знаком модуля неположительно, то есть $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Получаем: $$ 5 - x = 15 - 3x, $$ $$ -x + 3x = 15 - 5, $$ $$ 2x = 10, $$ $$ x = 5. $$ Значение $x = 5$ удовлетворяет условию $x \le 5$. Найдем соответствующее значение $y$: $$ y = 3 \cdot 5 - 11 = 15 - 11 = 4. $$ Таким образом, решением системы является пара чисел $(x_0; y_0) = (5; 4)$. Найдем произведение $x_0 y_0$: $$ x_0 y_0 = 5 \cdot 4 = 20. $$ Ответ: 20