ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 16

По определению, число является корнем уравнения, если при его подстановке вместо переменной $x$ получается верное числовое равенство. В исходном уравнении под знаком корня находится выражение $b - x$: $$ 3\sqrt{b - x} = 2b - x $$ Подставим значение корня $x = -2$ в уравнение: $$ 3\sqrt{b - (-2)} = 2b - (-2) $$ $$ 3\sqrt{b + 2} = 2b + 2 $$ Решим полученное иррациональное уравнение относительно $b$. Так как левая часть уравнения неотрицательна ($3\sqrt{b + 2} \ge 0$), правая часть также должна быть неотрицательной: $$ 2b + 2 \ge 0 \implies b \ge -1 $$ При условии $b \ge -1$ подкоренное выражение $b + 2 \ge 1 > 0$ автоматически неотрицательно. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (3\sqrt{b + 2})^2 = (2b + 2)^2 $$ $$ 9(b + 2) = 4b^2 + 8b + 4 $$ $$ 9b + 18 = 4b^2 + 8b + 4 $$ Перенесем все члены уравнения в правую часть: $$ 4b^2 + 8b - 9b + 4 - 18 = 0 $$ $$ 4b^2 - b - 14 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2 $$ $$ b_1 = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $$ $$ b_2 = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = -\frac{14}{8} = -1{,}75 $$ Проверим найденные значения с учетом условия $b \ge -1$: * Значение $b = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1$. * Значение $b = -1{,}75$ не удовлетворяет условию $-1{,}75 \ge -1$, так как при подстановке в правую часть получаем $2 \cdot (-1{,}75) + 2 = -1{,}5 < 0$, что невозможно для значения арифметического квадратного корня. Значит, $b = -1{,}75$ — посторонний корень. Ответ: при $b = 2$.