ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 15

Число $2$ является корнем уравнения $\sqrt{x - a} = 3a - x$, если при подстановке $x = 2$ получается верное числовое равенство: $$ \sqrt{2 - a} = 3a - 2 $$ Уравнение вида $\sqrt{f(a)} = g(a)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 3a - 2 \ge 0, \\ 2 - a = (3a - 2)^2 \end{cases} $$ 1. Из первого неравенства находим ограничения для $a$: $$ 3a \ge 2 \implies a \ge \frac{2}{3} $$ 2. Решим второе уравнение системы: $$ 2 - a = 9a^2 - 12a + 4 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 9a^2 - 11a + 2 = 0 $$ Найдём корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ a_1 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1 $$ $$ a_2 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $$ 3. Проверим выполнение условия $a \ge \frac{2}{3}$: — для $a = 1$: неравенство $1 \ge \frac{2}{3}$ верно, корень подходит; — для $a = \frac{2}{9}$: $\frac{2}{9} < \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, условие не выполняется, корень является посторонним. Ответ: при $a = 1$.