ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / подготовка к экзамену - 14

В исходном тексте задания содержится типографическая неточность распознавания: знак корня распространяется на все выражение со скобкой, то есть решается уравнение $$ \sqrt{49 + 9x(x + 4)} - 2x = 7 $$ Перенесем слагаемое $-2x$ в правую часть уравнения: $$ \sqrt{49 + 9x(x + 4)} = 2x + 7 $$ Так как левая часть уравнения представляет собой арифметический квадратный корень, она неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $$ 2x + 7 \ge 0 \iff 2x \ge -7 \iff x \ge -3{,}5 $$ При выполнении этого условия обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат: $$ 49 + 9x(x + 4) = (2x + 7)^2 $$ Раскроем скобки в левой и правой частях: $$ 49 + 9x^2 + 36x = 4x^2 + 28x + 49 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$ 9x^2 - 4x^2 + 36x - 28x + 49 - 49 = 0 $$ $$ 5x^2 + 8x = 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(5x + 8) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 8 = 0 \implies x_2 = -\frac{8}{5} = -1{,}6 $$ Проверим найденные значения по условию $x \ge -3{,}5$: 1. $x_1 = 0 \ge -3{,}5$ — удовлетворяет условию. 2. $x_2 = -1{,}6 \ge -3{,}5$ — удовлетворяет условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение: 1. При $x = 0$: $$ \sqrt{49 + 9 \cdot 0 \cdot (0 + 4)} - 2 \cdot 0 = \sqrt{49} - 0 = 7 $$ Равенство $7 = 7$ верно. 2. При $x = -\frac{8}{5}$: $$ \sqrt{49 + 9 \cdot \left(-\frac{8}{5}\right)\left(-\frac{8}{5} + 4\right)} - 2 \cdot \left(-\frac{8}{5}\right) = \sqrt{49 - \frac{72}{5} \cdot \frac{12}{5}} + \frac{16}{5} $$ $$ \sqrt{49 - \frac{864}{25}} + \frac{16}{5} = \sqrt{\frac{1225 - 864}{25}} + \frac{16}{5} = \sqrt{\frac{361}{25}} + \frac{16}{5} = \frac{19}{5} + \frac{16}{5} = \frac{35}{5} = 7 $$ Равенство $7 = 7$ верно. Ответ: $-\frac{8}{5}; 0$.