ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 2 - 8

8. Решим иррациональное уравнение: $$ 6 \sqrt{x^2 - 6x + 5} = x + 2 $$ Левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях $x$, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $$ x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2 $$ При условии $x \ge -2$ возведём обе части исходного уравнения в квадрат: $$ \left(6 \sqrt{x^2 - 6x + 5}\right)^2 = (x + 2)^2 $$ $$ 36(x^2 - 6x + 5) = x^2 + 4x + 4 $$ Раскроем скобки: $$ 36x^2 - 216x + 180 = x^2 + 4x + 4 $$ Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные: $$ 35x^2 - 220x + 176 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для чётного второго коэффициента ($k = -110$): $$ D_1 = k^2 - ac = (-110)^2 - 35 \cdot 176 = 12100 - 6160 = 5940 $$ Упростим подкоренное выражение: $$ \sqrt{D_1} = \sqrt{5940} = \sqrt{36 \cdot 165} = 6\sqrt{165} $$ Найдём корни уравнения: $$ x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{110 \pm 6\sqrt{165}}{35} $$ $$ x_1 = \frac{110 - 6\sqrt{165}}{35}, \quad x_2 = \frac{110 + 6\sqrt{165}}{35} $$ Проверим выполнение условия $x \ge -2$: Так как $12 < \sqrt{165} < 13$, получаем: $$ 6\sqrt{165} < 6 \cdot 13 = 78 $$ Тогда для меньшего корня: $$ x_1 = \frac{110 - 6\sqrt{165}}{35} > \frac{110 - 78}{35} = \frac{32}{35} > 0 > -2 $$ Следовательно, оба найденных значения удовлетворяют условию $x \ge -2$. Подкоренное выражение $x^2 - 6x + 5 = \frac{(x+2)^2}{36} \ge 0$ также неотрицательно при данных значениях переменной. Ответ: $\frac{110 \pm 6\sqrt{165}}{35}$