ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 2 - 11

Выясним, равносильны ли уравнения: $$7x^2 - 5 = 2x \quad \text{и} \quad 7x^2 - 2x = 5$$ Два уравнения называют равносильными, если множества их корней совпадают (в частности, если оба уравнения не имеют корней). **1. Решим первое уравнение:** $$7x^2 - 5 = 2x$$ Перенесём слагаемое $2x$ в левую часть, изменив его знак: $$7x^2 - 2x - 5 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144 = 12^2$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$$ Множество корней первого уравнения: $\left\{-\frac{5}{7}; 1\right\}$. **2. Решим второе уравнение:** $$7x^2 - 2x = 5$$ Перенесём слагаемое $5$ в левую часть, изменив его знак: $$7x^2 - 2x - 5 = 0$$ Полученное квадратное уравнение совпадает с первым уравнением, следовательно, оно имеет те же самые корни: $$x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{7}$$ Множество корней второго уравнения: $\left\{-\frac{5}{7}; 1\right\}$. **Вывод:** Так как множества корней обоих уравнений совпадают (второе уравнение получается из первого с помощью равносильного перехода — переноса слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака), данные уравнения являются равносильными. Ответ: уравнения равносильны.